Binomialverteilung- Tombola?
Eine Tombola beinhaltet 3000 Lose. Von diesen sind generell 150 Gewinnlose, davon
100 Lose mit den Gewinn von 5€
25 Lose mit dem Gewinn von 20€
22 Lose mit dem Gewinn von 40€
3 Hauptlose mit dem Gewinn von 100€.
Wie viele Lose muss man mindestens kaufen, damit man mindestens 40€ mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% gewinnt?
Danke für eine konstruktive Lösung bzw. Lösungsansätze.
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Also, um mindestens 40 € zu gewinnen, musst du entweder mindestens 8 Gewinne von 5 € oder mindestens 2 Gewinne von 20 € oder mindestens 1 Gewinn von 40 € oder mindestens 1 Gewinn von 100 € haben. Jetzt musst du alle diese mindestens mit Oder verbunden, die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten soll größer 90 % sein und die entstehende Formel musst du dann nach n (Anzahl Lose) auflösen. Das wird sehr schwierig (bzw. ist unlösbar), da du ja unterschiedliche n bekommst. Empfehlung deshalb: Rechne jedes n einzel aus und nimm als Aufgabenergebnis eben das n, welches am größten ist.
Beispiel mit Gewinnen zu 5 €:
nach k auflösen (mit einem WTR/GTR). k entspricht dann der Anzahl Lose. Im Falle des 5 €-Gewinns muss k größer oder gleich 8 sein, (denn 8 * 5=40) ansonsten ist diese k keine Lösung der Aufgabe.
Das muss dann noch für alle anderen Gewinnmölglichkeiten berechnet werden und du nimmst dann als Löung einfach das k mit der größten Zahl.
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Allerdings macht höchstens ja gar keinen Sinn, denn zu höchstens gehört auch 0 € Gewinn. UN damit ist die Angabe >= 90 % sinnlos.
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Ja, dann sieht aber auch die Berechnungsformel anders aus, da steht dann X<=k statt >=k und du musst nicht meh nach 1 - umstellen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/10_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Würde da jetzt “höchstens” stehen, dann müsste man folglich die kleinste Anzahl der einzelnen berechneten ‘n’ nehmen, oder?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
ich komme auf 149 Lose.
Dabei bin ich über das Gegenereignis gegangen:
Die Wahrscheinlichkeit, weniger als 40 Euro zu gewinnen, muß auf unter 10 %=0,1 sinken.
Um weniger als 40 Euro zu gewinnen, darfst Du weder ein 100-Euro-Los noch ein 40-Euro-Los gewinnen.
Von den 20-Euro-Losen darfst Du höchstens eins gewinnen; in diesem Fall aber nur höchstens 3 von den 5-Euro-Losen.
Gewinnst Du kein 20-Euro-Los, darfst Du höchstens 7 5-Euro-Lose gewinnen, um nicht auf mindestens 40 Euro zu kommen.
So gibt es letztlich nur zwei Kombinationen, die zu höchstens 40 Euro Gewinn führen:
0x100 €/ 0x40 €/ 0x20 €/(0-7)x5€ oder:
0x100 €/ 0x40 €/ 1x20 €/ (0-3)x5 €.
Ich habe ein Programm für die kumulierte Binomialverteilung aufgerufen und ein wenig herumexperimentiert.
Die Wahrscheinlichkeit für ein 100-Euro-Los liegt bei 1/1000, dann folgen
p (40 )=1/120; p (20 €)=11/1500; p (5 €)=1/30
Nun rechnest Du die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Lose aus und multiplizierst sie in den beiden Kombinationen 0/0/0/(0-7) und 0/0/1/(0-3).
Die Produkte addierst Du anschließend.
Bei n=149 paßt es.
Bei den 20-Euro-Losen brauchst Du die Einzelwahrscheinlichkeiten für 0 und für 1 Los.
Am besten die Einzelergebnisse abspeichern, anschließend multiplizieren und die beiden Wahrscheinlichkeiten für die beiden Kombinationen addieren.
Herzliche Grüße,
Willy