Beweisansatz gesucht: Polynomraum nicht endlich erzeugt?
Es ist zu zeigen, dass der Polynomraum K[t] nicht endlich erzeugt ist. Intuitiv ist mir klar, dass der Polynomraum keine Beschränkung des Grades hat, d.h. prinzipiell Koeffizientenvektoren unendlicher Länge erzeugt. Dabei wäre die Basis ja (1,x,x^2, ... ).
Ich bräuchte nur einen Ansatz, wie diese Gedanken in einen Beweis transformiert werden könnten.
3 Antworten
Nimm dir einfach eine beliebige endliche Teilmenge B in K[X] und zeige, dass die lineare Hülle L(B) eine echte Teilmenge in K[X] ist.
Dazu nutzt du aus, dass es ein n in lN gibt mit
grad(p) < n für alle p in B. [Warum?]
Mithilfe der Grad-Eigenschaften zeigst du dann, dass auch für jede linear Kombination p in L(B) gilt:
grad(p) < n.
Super, vielen Dank. Das geht dann in eine ähnliche Richtung wie der Beitrag von MitFrage.
Angenommen, er wäre endlich erzeugt. Dann gibt es ein endliches Erzeugendensystem {a_1, ..., a_n}.
Finde dann ein Polynom, welches mit den vorhandenen Elementen im Erzeugendensystem nicht linearkombiniert/erzeugt werden kann.
Dann aber kann {a_1, ...a_n} kein Erzeugendensystem sein! So entsteht ein Widerspruch zur Annahme.
Hier Dein Ansatz.