AWP besitzt eindeutige lokale Lösung/ Beweis richtig?

Hallo, ich/wir bräuchten etwas Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Zeigen wollen wir das mit der lokalen Version vom Satz von Picard-Lindelöf, also:

$Zz:\ \left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\le L\left|x_1-x_2\right|\ mit\ L\ge0\ \ <->\ f\left(x\right)\ ist\ Lipschitzstetig\ ->\ Es\ ex.\ eine\ eindeutig\ lokale\ Lösung$ Darauf angewendet haben wir:

$mit\ f\left(x\right)=x'\left(t\right)=t\cdot x\left(t\right)^2$

$\left|t\cdot x_1\left(t\right)^2-t\cdot x_2\left(t\right)^2\right|=\left|t\right|\cdot\left|x_1\left(t\right)^2-x_2\left(t\right)^2\right|$ Ab hier kommen wir nicht wirklich weiter. Denn wir sind uns nicht sicher, ob man dann wie folgt abschätzen darf(Oder ob es eine schönere Abschätzung gibt):

$\left|t\right|\cdot\left|x_1\left(t\right)^2-x_2\left(t\right)^2\right|\le\left|t\right|\cdot\left|x_1\left(t\right)-x_2\left(t\right)\right|\ =\ >\ L=\left|t\right|\ge0\ =>\ Lipschitzstetig$ Und darin steckt ja auch noch keine Aussage über die Eindeutigkeit der Lösungen für jedes a Element von IR, richtig?

Answer 1

[eterneladam]

Die Bezeichnungen sind ziemlich durcheinander, es sollte heissen x(t1) und x(t2). t ist die Variable!

Die Abschätzung ist falsch, aber man kann das leicht retten. Über die dritte binomische Formel kommt noch ein | x(t1) + x(t2) | dazu, das kann man lokal (auf einem abgeschlossenen Intervall) durch das 2fache Maximum der Funktion abschätzen, und dieses 2fache Maximum gleich als L nehmen.

Comments

[HUMILEIN]

Ah. Vielen Dank!