Wie kann ich diese mehrdimensionale Taylorreihe berechnen?

Hallo!

Ich habe diese Aufgabe zwar schon gemacht, da mir das Ergebnis aber sehr komisch vorkommen, möchte ich nochmal hier fragen.
Mein Ergebnis war einfach nur T(f;(0,0)) = 1.

Danke im Voraus!

Answer 1

[mihisu]

Mit Hilfe der Exponentialreihe erhält man...

$f(x, y)=\text{e}^{x y}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\left(x y\right)^k}{k!}=\frac{\left(x y\right)^0}{0!}+\frac{\left(x y\right)^1}{1!}+\frac{\left(x y\right)^2}{2!}+\ldots$

$=\frac{1}{1}+\frac{x y}{1}+\frac{x^2 y^2}{2}+\ldots=1+x y +\frac{1}{2} x^2 y^2+\ldots$

Bricht man die Reihe nach Grad 2 ab... (Beim Summanden 1/2 x² y² hätte man mit Grad 2 + 2 = 4 > 2 bereits einen größeren Grad. Beim Summanden x y hätte man mit Grad 1 + 1 = 2 noch Grad 2.) ... so kann man erkennen, dass gilt...

$\text{T}_2\left(f;\left(0, 0\right)\right)\left(x, y\right)=1+x y$

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Mit der Formel aus der Vorlesung...

Die Möglichkeiten mit |α| ≤ 2 sind...

• |α| = (0, 0) mit |α| = 0 + 0 = 0 und |α|! = 0! ⋅ 0! = 1 ⋅ 1 = 1,
• |α| = (1, 0) mit |α| = 1 + 0 = 1 und |α|! = 1! ⋅ 0! = 1 ⋅ 1 = 1,
• |α| = (0, 1) mit |α| = 0 + 1 = 1 und |α|! = 0! ⋅ 1! = 1 ⋅ 1 = 1,
• |α| = (2, 0) mit |α| = 2 + 0 = 2 und |α|! = 2! ⋅ 0! = 2 ⋅ 1 = 2,
• |α| = (1, 1) mit |α| = 1 + 1 = 2 und |α|! = 1! ⋅ 1! = 1 ⋅ 1 = 1,
• |α| = (0, 2) mit |α| = 0 + 2 = 2 und |α|! = 0! ⋅ 2! = 1 ⋅ 2 = 2.

Außerdem ist...

$\partial^{\left(0, 0\right)}f\left(x, y\right)=f\left(x, y\right)=\text{e}^{x y}$

$\partial^{\left(1, 0\right)}f\left(x, y\right)=\partial_x f\left(x, y\right)=\text{e}^{x y}\cdot y$

$\partial^{\left(0, 1\right)}f\left(x, y\right)=\partial_y f\left(x, y\right)=\text{e}^{x y}\cdot x$

$\partial^{\left(2, 0\right)}f\left(x, y\right)=\partial_x \partial_x f\left(x, y\right)=\text{e}^{x y}\cdot y^2$

$\partial^{\left(1, 1\right)}f\left(x, y\right)=\partial_x \partial_y f\left(x, y\right)=\text{e}^{x y}\cdot x\cdot y+\text{e}^{x y}\cdot 1=\text{e}^{x y}\cdot \left(x y + 1\right)$

$\partial^{\left(0, 2\right)}f\left(x, y\right)=\partial_y \partial_y f\left(x, y\right)=\text{e}^{x y}\cdot x^2$

... und damit...

$\partial^{\left(0, 0\right)}f\left(0, 0\right)=\text{e}^{0\cdot 0}=1$

$\partial^{\left(1, 0\right)}f\left(0, 0\right)=\text{e}^{0\cdot 0}\cdot 0=0$

$\partial^{\left(0, 1\right)}f\left(0, 0\right)=\text{e}^{0\cdot 0}\cdot 0=0$

$\partial^{\left(2, 0\right)}f\left(0, 0\right)=\text{e}^{0\cdot 0}\cdot 0^2=0$

$\partial^{\left(1, 1\right)}f\left(0, 0\right)=\text{e}^{0\cdot 0}\cdot \left(0\cdot 0+1\right)=1\cdot 1=1$

$\partial^{\left(0, 2\right)}f\left(0, 0\right)=\text{e}^{0\cdot 0}\cdot 0^2=0$

Mit der Taylor-Formel aus der Vorlesung erhält man dann...

$\text{T}_2\left(f;\left(0, 0\right)\right)\left(x, y\right)$

$=\frac{1}{1}\cdot 1\cdot x^0\cdot y^0+\frac{1}{1}\cdot 0\cdot x^1\cdot y^0+\frac{1}{1}\cdot 0\cdot x^0\cdot y^1$

$\quad +\frac{1}{2}\cdot 0\cdot x^2\cdot y^0+\frac{1}{1}\cdot 1\cdot x^1\cdot y^1+\frac{1}{2}\cdot 0\cdot x^0\cdot y^2$

$=1+0+0+0+x\cdot y+0$

$=1+x y$