Ist unendlich eine mögliche Lösung für eine Extremwertaufgabe?
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Wie muss x gewählt werden, dass dieses Produkt (2x^2+10)*(4*x-23) maximal wird?
Ist x = ∞ wirklich eine Lösung? Unendlich ist nichtmal auch keine Zahl
Oder mittels 1. und 2. Ableitung das lokale Maximum bestimmen:
f'(x) = 0 f''(x) < 0
x = 0.5
vielen Dank für die Hilfe
4 Antworten
- Du multiplizierst den Term aus: f(x) = 8 x^3 - 46 x^2 + 40 x - 230
- Du bildest die erste Ableitung f'(x) = 24 x^2 - 92 x + 40
- Du bildest die zweite Ableitung f''(x) = 48 x - 92
- Du bestimmst die Nullstellen der 1. Ableitung: x1 = 1/2, x2 = 10/3
- Du setzt in die 2. Ableitung ein: f''(1/2) = 24 - 92 < 0
Damit ist die notwendige Bedingung f'(x) = 0 und die hinreichende Bedingung f''(x)<0 für ein lokales Maximum an der Stelle x=1/2 erfüllt. Der Funktionswert beträgt -220,5.
Aber:
Wenn die Aufgabe wirklich so gestellt ist, wie du sie oben wiedergibst, dann ist nicht nach einem lokalen Maximum, sondern nach dem absoluten Maximum gefragt. Hast du vielleicht ein gegebenes Intervall übersehen? Oder ergibt sich eins aus dem Sachzusammenhang?
Ungefähr ab x=5 und für alle größeren x-Werte ist f(x) größer als das lok. Maximum. Die Funktion ist ab x=10/3 streng monoton, progressiv steigend, wird also beliebig groß. D.h. es gibt kein absolutes Maximum.
Ja, die Aufgabe steht genauso im Heft. Vielleicht ist der Ersteller der Aufgabe davon ausgegangen, dass Schüler sowieso nur das lokale Maximum beachten. Im Lösungsheft ist nämlich x=0.5 die vorgegebene Lösung
Die Lösung ist: Es gibt kein Maximum.
Unendlich ist ein Symbol, aber keine konkrete Zahl mit einem Wert.
Da 0,5 > 0, hast du so das lokale Minimum bestimmt (sofern 0,5 richtig ist).
0,5 ist das lokale Maximum, aber nicht das, was du als Wert für die zweite Ableitung heraus bekommen hast. Daher die Verwirrung.
Produktregel anwenden.
f(x) = (2x^2+10)*(4*x-23)
f'(x) = 4x*(4x-23) + 4 * (2x² + 10) = 16x² - 92x + 8x² + 40 = 24x² -92x + 40
0 = 24x² -92x + 40
0 = x² - 23/6 x + 10/6
x1,2 = 23/12 +/- Wurzel( (23/12)²-10/6) = 23/12 +/- 1,417
x1 = 0,5
x2 = 3 1/3
Danke für die ausführliche Antwort. Das ist also der Grund, weshalb laut Lösungsheft x=0.5 die korrekte Lösung für diese Aufgabe ist?
Dann wurde aber nur nach (lokalen) Extrema gefragt - nichz globalen Extrema.
Unendlich ist zwar keine Zahl, aber wir können den Bereich der reellen Zahlen um die Pseudo-Zahlen plus Unendlich und minus Unendlich erweitern.
Im Bereich der reellen Zahlen gibt es kein Maximum, und man kann/muss sagen, dass die Funktion nicht (nach oben) beschränkt ist, und dass sie für immer größer werdende x unbeschränkt wächst. x = +∞ ist nur eine symbolische Formulierung hierfür. Im erweiterten Bereich kann man das so schreiben.
Im Bereich der reellen Zahlen muss man also schreiben: Es existiert kein solches x.
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Nach den Kommentaren zu den anderen Antworten ist aber ein lokales Extremum gemeint. D. h., die Aufgabe ist falsch gestellt.
0,5 ist das lokale Maximum, richtig.
Es gibt kein konkretes globales Maximum, da es streng monoton steigt ab 10/3.
Du kannst laut meinen Erfahrungen höchstens das Grenzverhalten bestimmen, indem Du den x gegen plus/minus Unendlich gehen lässt. Dort wirst Du für plus Undendlich auch plus Unendlich erhalten und hast somit bewiesen, dass es kein konkretes globales Maximum gibt.
Ich hoffe, ich konnte helfen :)
0.5 ist richtig, ich verstehe aber nicht, weshalb x=0.5 die korrekte Lösung ist