Aufgabe zu Nullstellen und x-Achsenschnittpunkten. Kann mir jemand die Aufgaben erklären?
Ich habe 3 Aufgaben zu Nullstellen und x-Achsenschnittpunkten bekommen, aber ich verstehe gar nichts. Kann mir jemand erklären, was ich tun soll?
4 Antworten
Ich fasse mal das wichtigste zusammen, was man unbedingt zu Parabeln wissen muss. Das ist im Prinzip Wissen, das man auswendig drauf haben muss, um mit quadratischen Funktionen zurecht zu kommen:
a) Definitionen:
Quadratische Funktion: eine quadratische Funktion liegt dann vor, wenn in der Funktionsgleichung ein x^2 als höchste Potenz vorkommt.
Parabel: Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion
Normalparabel: eine Normalparabel liegt dann vor, wenn vor dem x^2 kein Faktor steht, wenn das x^2 sozusagen alleine dasteht.
b) Darstellungsformen
Die Funktionsgleichung zu Parabeln lässt sich grundsätzlich in drei verschiedenen Darstellungsformen schreiben, die aber alle zum selben Ergebnis, also zum selben Graphen führen.
Was vor dem Gleichheitszeichen steht, ist nicht eindeutig festgelegt. Üblich sind y = ..... oder f(x) = ….. Aber auch andere Bezeichnungen vor dem Gleichheitszeichen sind möglich.
1) Die Normalform lautet:
f(x) = ax^2 + bx + c
In der Normalform sind alle Klammern ausmultipliziert und die x sind nach ihrer Hochzahl geordnet.
2) Die Scheitelpunktform beruht auf den Koordinaten des Scheitelpunktes. Wenn der Scheitelpunkt die Koordinaten S(d/e) hat, lautet die Scheitelpunktform:
f(x) = a(x - d)^2 + e
d ist die x-Koordinate und e ist die y-Koordinaten des Scheitelpunktes.
3) Die Nullstellenform beruht auf den x-Werten der Nullstellen der Funktion. Das sind die Stellen, bei denen der Graph die x-Achse schneidet. Die Nullstellenform hat eine Besonderheit. Während man jede Parabel in der Normalform oder Scheitelpunktform darstellen kann, ist das bei der Nullstellenform nur dann möglich, wenn die Parabel so liegt, dass sie die x-Achse auch tatsächlich schneidet. Das ist aber nicht immer der Fall.
Die Nullstellenform lautet:
f(x) = a(x - xo1) * (x - xo2)
xo1 und xo2 sind die beiden Nullstellen der Funktion, also die x-Werte, bei denen die Parabel die x-Achse schneidet.
c) Der Streckungsfaktor oder Leitkoeffizient a
Eine Parabel kann flach und breit (gestaucht) oder schmal und steil (gestreckt) sein. Das hängt vom sogenannten Streckungsfaktor a ab. Egal welche der drei Darstellungsformen man wählt, a hat immer denselbe Wert. Der Streckungsfaktor a bestimmt das Aussehen der Parabel:
a = 1: Das ist die nach oben geöffnete Normalparabel. Üblicherweise lässt man a = 1 in den Gleichungen ganz weg.
a ist positiv: die Parabel ist nach oben geöffnet
a ist negativ: die Parabel ist nach unten geöffnet
Betrag von a ist kleiner als 1: die Parabel ist flacher als die Normalparabel
Betrag von a ist größer als 1: die Parabel ist schmaler als die Normalparabel
d) Umrechnungen von einer Form in die andere
Alle drei Darstellungsformen der quadratischen Funktion/Parabel lassen sich ineinander umrechnen.
1) Von der Normalform in die Scheitelpunktform: da wendet man die quadratische Ergänzung an
2) Von der Normalform in die Nullstellenform:
Man setzt f(x) = 0 und löst diese quadratische Gleichung entweder mit der pq-Formel oder der Mitternachtsformel. Die Nullstellen setzt man dann, wenn es welche gibt, in die Nullstellenform ein.
3) Von der Scheitelpunktform oder der Nullstelllenform in die Normalform: dazu mulitpliziert man die Klammern aus und sortiert die x nach ihrer Hochzahl.
Nun zu den Aufgaben:
Aufgabe 5: Aus den gegebenen Angaben kannst du leicht die Nullstellenform der quadratischen Funktion angeben, indem du einfach nur die gegebenen Werte in die Nullstellenform f(x) = a(x - xo1) * (x - xo2) einsetzt.
Beispiel 5a:
Ansatz:
f(x) = a(x - xo1) * (x - xo2)
Werte einsetzen:
f(x) = 1 * (x - (-1)) * (x - 3) = (x + 1)(x - 3)
...und schon ist das erledigt.
Um zur Normalform (= allgemeine Form) zu kommen, muss man nun nur noch die Klammern ausmultiplizieren und dann nach Potenzen ordnen:
f(x) = (x + 1)(x - 3) = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3
..fertig.
Noch ein Beispiel, 5f:
Ansatz:f(x) = a(x - xo1) * (x - xo2)
Werte einsetzen:
f(x) = 2/3 * (x - 1,5) * (x - 7,5)
...und schon ist das erledigt.
Um zur Normalform (= allgemeine Form) zu kommen, muss man nun nur noch die Klammern ausmultiplizieren und dann nach Potenzen ordnen:
f(x) = 2/3 * (x - 1,5) * (x - 7,5) = 2/3 (x^2 - 1,5x - 7,5x + 11,25)
= 2/3 (x^2 - 9x + 11,25) = 2/3 x^2 - 6x + 7,5
Ergebnis für die allgemeine Form:
f(x) = 2/3 x^2 - 6x + 7,5
..fertig.
Aufgabe 6:
Um die Nulllstellen zu finden, lautet der Ansatz:
f(x) = 0
Um quadraitische Gleichungen zu lösen, gibt es die quadratische Ergänzung, die pq-Formel sowie die Mitternachtsformel, direkt nach x Auflösen oder den Satz vom Nullprodukt. Mein Lieblingsweg ist die pq-Formel. Die muss man am besten auswendig lernen. Die klappt immer bei quadratischen Funktionen, die in Normalform angegeben sind.
Beispie a)
f(x) = x^2 + 2x - 3 = 0
pq-Formel:
also
xN1 = 1
xN2 = -3
b) Hier braucht man keine pq-Formel, das kann man direkt nach x auflösen:
3/4 x^2 + 1 = 0
3/4 x^2 = -1
x^2 = -4/3
x1,2 = ±√-4/3
Es gibt keine Lösung, da man eine Wurzel aus einer negativen Zahl nicht ziehen kann.
h) -0,5 x^2 + 6x = 0
x ausklammern:
x(-0,5x + 6) = 0
Satz von Nullprodukt: ein Produkt ist dann = 0, wenn einer der Faktoren = 0 ist. Also:
x1 = 0
-0,5x2 + 6 = 0
-0,5 x2 = -6
0,5 x2 = 6
x2 = 12
Aufgabe 7
a) Einen Hinweis auf den Graphen gibt die Skizze in d)
Zuerst müssen wir wissen, wie lang die Brücke ist, um einen sinnvollen Maßstab wählen zu können. Dazu berechnen wir die Nullstelllen der Funktion:
f(x) = -0,02 x^2 + 0,96 x = 0
x(-0,02 x + 0,96) = 0
x1 = 0 (was logisch ist, das ist das linke Ende der Brücke).
-0,02 x2 + 0,96 = 0
0,02 x2 = 0,96
x2 = 0,96 / 0,02 = 48
Die Brücke ist also 48 m lang. Da wäre ein sinnvoller Maßstab so zu wählen, dass die Länge auf dem Blatt Papier ein ganzzahliges Vielfaches von 48 ergibt.
Gut wäre z.B. 4,8 * 4 = 19,2
Wenn die Brücke auf dem Papier 19,2 cm lang werden soll (passt gut auf ein A4-Blatt) ist der Maßstab:
19,2 cm : 4800 cm
1 = 4800 / 19,2 = 1 : 250
1 cm auf dem Blatt entsprechen also 250 cm = 2,5 m in real.
Nun stellen wir eine Wertetabelle auf und damit wir das Ergebnis gleich in cm für die Zeichung rauskriegen, dividieren wir den Funktionswert gleich durch 2,5 (da 1 cm auf dem Papier 2,5 m in real entspricht):
Damit brauchen wir eine Wertetabelle für:
f(x) = (-0,02 x^2 + 0,96 x) / 2,5
Ich hab noch 24 aufgenommen, da auf der Hälfte der Länge das Maximum mit waagrechter Tangente liegt. Mit diesem Scheitelpunkt kann man dann leichter zeichnen.
5a) y = 1(x+1)(x-3)
Klammern lösen
1a) hier musst du die pq-Formel für die Nullstellen anwenden.