Analysis multiple choice Frage?
Richtig müsste B sein, ich verstehe aber nicht warum. Warum sollte der limes v sein, v ist doch nur irgendeine Zahl in R.
3 Antworten
Folgen sind für mich zwar lange her aber ich schließe mich eterneladam an, und versuch mich auch an Erklärungen (ohne Gewähr):
A) ist einfach mathematisch ungenau, Prosa
C) es würde ja bedeuten, dass jede Folge Xi gegen x läuft was man nicht sagen kann
D) hier wird nichts über den folgenden Verlauf von sie ausgesagt, also kann auch iPhone X nicht unbedingt immer Nü, sein
Es bleibt B) genau dann, wenn (bestimmte) FolgenXi (aus n) gegen den Häufungspunkt x konvertiert, konvergriert auch der Funktionswert f(Xi_n) gegen Nü
Ein bisschen tricky. Man muss schon ein bisschen auf die Definitionen achten. Ein gutes Beispiel, das man im Kopf haben kann, wäre z. B. Sigma = Q, also die Menge der rationalen Zahlen. Dann ist jede reelle Zahl ein Häufungspunkt von Sigma. Betrachte ich insbesondere die irrationalen Zahlen, so sind diese Häufungspunkte von Sigma, aber keine Elemente von Sigma. Das beschreibe ich jetzt nur mal, damit du dir klar bist, dass Sigma schon eine andere Teilmenge sein kann als das, was man so aus der Schulmathematik kennt, z. B. ein Intervall.
Jetzt aber zu den einzelnen Aussagen.
(A) Die Aussage das y gegen x geht, ist daher zu ungenau, weil sie die Folgen, die dieses "gegen x gehen" bedeutet, nicht spezifiziert. Dabei könnte ich auch Folgen haben, die Elemente von R ohne Sigma enthalten. Dann ist aber die Folge der Funktionswerte gar nicht definiert, ich kann also auch nix über deren Konvergenz aussagen.
(B) ist richtig, denn das ist genau die formal richtige Definition von y->x in der Menge Sigma. Anmerkung: An der Stelle x selber muss überraschenderweise NICHT f(x) = v gelten. Daher muss man x rausnehmen, sonst könnte man z.B. die Folge x,x,x,x,x,x...nehmen (wenn x in Sigma liegt), die konvergiert gegen x, aber die entsprechenden. Funktionswerte konvergieren nicht unbedingt. Man könnte etwa f so konstruieren: Alle Zahlen ungleich 0 werden auf 1 abgebildet, nur die 0 wird auf 0 abgebildet. Dann wäre der Grenzwert von f für y gegen 0 trotzdem 1, auch wenn f(0) nicht gleich 1 ist.
Das f(x) NICHT v sein muss, kann man sich an der epsilon-delta-Definition von lim x->y nochmal klar machen.
Zu deiner Frage, ob nicht v irgendeine Zahl sein kann: Du hast hier zwei Aussagen
(I) lim x->y f(x) = v (in der Regel definiert über epsilon-delta-Umgebungen)
(II) Die Aussagen, dass (bestimmte) Folgen von Funktionswerten gegen v konvergieren.
Die Frage ist, ob (I) und (II) äquivalent ist. Wenn (I) gilt, dann habe ich ein v, wenn (II) gilt, ebenso.
Das v ist also nicht beliebig
(C) ist falsch, denn letztlich steht da im ersten Teil, dass jede Folge von Elementen von Sigma gegen x konvergiert. Das ist natürlich falsch. Nur weil x ein Häufungspunkt ist, muss nicht jede Folge gegen x konvergieren.
(D) ist genauso falsch, denn da steht letztlich, dass jede Folge von Funktionswerte konvergiert, warum sollte das so sein.
(A) ist eine etwas saloppe textliche Umschreibung des Sachverhalts und scheidet wohl deswegen aus - obwohl ich es genommen hätte.
Bei allen anderen stört mich, dass x aus der Folge ausgeschlossen ist. Warum sollte das so sein.
(D) passt sicher gar nicht, da an die Folge keinerlei Voraussetzungen gestellt werden.
(C) passt auch nicht, da das "wenn dann" fehlt.
Nach dem Ausschlussprinzip von "Wer wird Millionär" lande ich bei (B), ohne wirklich überzeugt zu sein. Ein Joker wäre nicht schlecht ....