Allgemeines Iterationsverfahren?
Hallo Leute, ich brauche ziemlich dringend Hilfe, da ich morgen ein Referat halten muss in Mathe, um meine Note zu verbessern über das Thema Allgemeines Iterationsverfahren. Ich habe wirklich Tagelang Gegoogelt und versucht die Zusammenhänge zu verstehen, doch es gelingt mir nicht, da man eher was zu der Newtischen Verfahren usw. finden nur nicht über das allgemeine und mein Lehrer möchte mir nicht helfen, da dann die Note unverdient gewesen wäre. Ich habe paar Fragen und ich hoffe, dass ihr mir die beantworten könnt.
Was ich bis jetzt verstanden habe:
Das Verfahren benutzt man, wenn man auf sonst eine andere Weise nicht nie Nullstellen herausfinden kann. Das ist einen Nährungsverfahren und man finden nicht das genaue Ergebnis heraus. Wenn man z.B die Formel x³×2x-1=0 stellt man nach x um also g(x)= 1-x³ und g(x)= 2x bleibt übrig. Beides zeichnet man als getrennte Funktionen ein in das Koordinatensystem und man versucht durch das Nährungsverfahren deren Schnittpjnkt herauszufinden, weil das gleichzeitig die Nullstelle von der ursprungsfunktion ist. Die Abszisse sind die Schnittpunkte von den Umgeformten Fjnktionen, die nennt man auch Fixpunkte und werden mit x* bezeichnet. (Bitte korrigiert mich falls ich es nicht richtig verstanden habe)
So jetzt kommt der Teil, den ich nicht verstehe und zwar wird die Formel g(x)= 1-x³ in der Allgemein Formel x n-1 (unten neben der x) = 0,5 (1-x³) ich hab das Bild auch hochgeladen dann ist verständlicher. Das Problem ist ich weiß nicht woher die 0,5 herkommt und wie ich ein Startwert bestimmen soll, da im Buch als Lösung 0,45 raus kommt. Außerdem weiß ich nicht, ob man die Intervallen benutzten soll, ober ob die die Werte sind zwischen denen sich die Nullstelle befindet.
Also zusammengefasst meine Fragen sind.
Wie finde ich den Startwert heraus?
Das kleine n und 0 oder 1 oder 2 unten rechts neben der x, welche Rolle spielen Sie und wie berechne ich die ( falls man das rechnen muss)?
Woher kommt die 0,5 in der Gleichung zustande.
Ich wäre euch so unendlich dankbar, falls ihr mir möglichst unkompliziert erklären könntet, da ich fast nichts zu diesem Thema gefunden hab.
3 Antworten
Für eine Fixpunktiteration muss g(x) = x sein, also
g(x) = (1-x³)/2 und g(x) = x
(statt g(x) = 1-x³ und g(x) = 2x)
Daher kommt auch die 0,5.
Damit ist x = 0,5 * (1 - x³)
Man fängt mit einem x an und berechnet mit diesem x ein neues x, in der Hoffnung, dass das neue x besser ist, also dass die Folge der x konvergiert.
Wenn sie konvergiert, dann gegen die gesuchte Lösung.
Wenn sie nicht konvergiert, dann hat man Pech gehabt. Man kann dann versuchen, nach dem "anderen" x (unter dem x³) umzustellen. (Brauchen wir hier glücklicherweise nicht.)
Die kleinen Indizes am x bezeichnen die laufende Nummer des Iterationsschritts.
Es fängt mit dem Startwert x_0 an.
Dann berechnet man schrittweise
x_1 aus x_0
x_2 aus x_1
x_3 aus x_2
...
allgemein gesagt x_(n+1) aus x_n.
Das stimmt, n ist praktisch nur zur Verdeutlichung, einfach nur ein Zähler ohne Bedeutung für die eigentliche Iteration.
Wenn man eine gezeichnete Funktion hat, dann kann man ja schon einen geschätzten Wert für x ablesen und als Startwert verwenden.
Hat man ein Intervall vorgegeben, kann man es ja mit einem Wert in der Mitte des Intervalls als Startwert versuchen. So wurde es auch in dem Beispiel gemacht.
der Startpunkt stammt aus der Zeichnung : Möglichst genaues ABLESEN des x-Wertes des Schnittpunktes............um 0.45 ablesen zu können , sollte das Koordinatensystem schon einen großen Maßstab , eventuell Millimeterpapier , haben.
Die 0.5 stammen vom Teilen durch 2 , damit aus 2x x wird.
xn1 = 0.5(1-xn^3)
darin 0.45 einsetzen
gibt dein x1 0.4544375
jetzt
xn2 = 0.5(1-xn1^3)
x1 für nx1 einsetzen
ergibt dein x2
der star wer kann in einem bestimmten rahmen selber gewählt werden
Also ist quasi das n nur eine Zahl die zur Verdeutlichung da steht. Also wenn das x_0 eingegeben werden sollte sieht es so aus: x_0+1= 0,5 ( 1-x³_0) und für x wird die Zahl eingesetzt, die 0 entspricht.
Und bei dem Startwert sucht man sich da einfach von der gezeichneten Funktion das einen beliebigen Punkt aus oder wie ist es da, was muss ich beachten?
Und wenn wie bei dem Bild ein Interval gegeben ist, steht er quasi für den Ergebnis oder muss ich da die Punkte benutzten?
Vielen Dank für die Hilfe!