Äquivalenzrelation, Transitiv bei 2 Elementen?
Hallo habe die Relationen {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} Wie soll ich bei den Relation auf Transitivität prüfen, wenn es kein drittes Element gibt.
Transitivität: a=b und b=c -> a=c
ich hab aber nur a und b ._.
Danke
2 Antworten
Dein DENKFEHLER: Du interpretierst die formale Sprach schlichtweg falsch. Nur weil man 3 verschiedene Buchstaben verwendet, bedeutet nicht, dass die Werte, die ihnen zugeordnet werden, paarweise verschieden sind. Die Aussage ist seien a,b,c ∈ X mit (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R, so gilt (a,c) ∈ R. Hierbei betrachte man bloß alle Möglichkeiten für a,b,c ∈ M, das sind im Falle M={1;2}
a=1; b=1; c=1; oder
a=1; b=1; c=2; oder
a=1; b=2; c=1; oder
a=1; b=2; c=2; oder
a=2; b=1; c=1; oder
a=2; b=1; c=2; oder
a=2; b=2; c=1; oder
a=2; b=2; c=2.
Dein Problem kannst du übrigens wie folgt prüfen: die Relation in diesem Falle ist die triviale Relation R = M x M (das volle kartesische Produkt). In dieser Relation ist alles drin, sodass auf jeden Fall der Teilausdruck rechts in
∀x,y,z∈M: (x,y)∈R & (y,z)∈R ⟶ (x,z)∈R.
trivialerweise immer erfüllt, sodass die ganze Aussage erfüllt ist, d. h. das Axiome Transivitität gilt trivialerweise. Analog gilt Symmetrie
∀x,y∈M: (x,y)∈R ⟶ (x,z)∈R.
trivialerweise. Das Axiom Reflexitivität
∀x∈M: (x,x)∈R.
gilt, weil R alle Paar enthält und somit insbesondere (x,x) für alle x∈M.
Das was Du als Relationen bezeichnest ist eigentlich eine Menge:
{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}
Diese Menge könnte von dem kartesischen Produkt A x A stammen, wobei A eine Menge mit den Elementen {1; 2} ist.
Kannst Du vielleicht den genauen Wortlaut der Aufgabe niederschreiben?
LG,
Heni
So weit so gut! Aber dann wie kommst Du von selbst auf das kartesische Produkt? Werden Dir mehrere Relationen gegeben und Du sollst entscheiden welche Äquivalent sind und welche nicht?
Falls "ja", welche Relationen hast Du (bitte alle aufschreiben)?
Genau, die Aufgabe lautet:
Gegeben sei die menge M = {1,2}.
Welche der Relationen sind Äquivalenzrelationen?
Mittlerweile habe ich herausgefunden, das es 16 Relationen gibt, ist das Korrekt?