Relation Aufgabe?
Hallo Leute,
ich bearbeite gerade eine Übung mit Relationen und muss bestimmen ob diese eine äquivalente Relation ist oder nicht. Leider bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig bearbeitet habe.
Äquivalenzrelation soll: Reflexiv, symmetrisch und transitiv sein!
Hier ist die Aufgabe:
Meine Ansätze:
(1): Keine Äquivalenzrelation, da nur (1, 1) und (-1, -1) geht. Da hier aber reele Zahlen sind klappt mit (2, 2) zum Beispiel nicht!
(2): Keine Äquivalenzrelation, da man hier eine negative und eine positive Zahl benötigt, um auf die 0 zu kommen (außer 0, 0). Zum Beispiel: (-2, 2) ist nicht reflexiv. (nicht sicher)
(3) Äquivalenzrelation, da alle Tupel entweder reflexiv, symmetrisch oder transitiv sind.
(4) Hier bin ich mir auch nicht sicher (habe trotzdem als Äquivalenzrelation angekreuzt), da man mit jeder negativen geraden Zahl und negativen geraden Zahl / negativen geraden Zahl und positiven geraden Zahl / positiven geraden Zahl genauso, wie mit den ungeraden Zahlen eine gerade Zahl bekommt, wenn man diese subtrahiert. Was wäre den mit (2, 3) zum Beispiel? Das ist schon mal nicht reflexiv.
(5) Äquivalenzrelation, weil surjektiv bedeutet, dass alle Elemente im Definitionsbereich auf alle Elemente im Wertebereich treffen müssen. Das geht hier, wenn man irgendeine natürliche Zahl einsetzt.
Stimmen die Ergebnisse? Wenn nein bitte korrigiert mich und klärt mich bitte auf. Bin gerade erst ins Thema eingestiegen.
Danke im Voraus.
2 Antworten
Was wäre den mit (2, 3) zum Beispiel? Das ist schon mal nicht reflexiv.
Reflexiv bedeutet, dass alle (x,x) Teil der Relation sind.
Da x-x = 0 für alle x ist und 0 gerade ist, ist die Relation reflexiv.
Da a-b = -(b-a) ist, unterscheiden sich (a,b) und (b,a) nur im Vorzeichen, welches die Eigenschaft nicht beeinflusst, gerade zu sein.
Die Transitivität zu zeigen ist schwieriger. Aus (a,b) in R und (b,c) in R muss folgen, dass (a,c) in R ist. Also wenn a-b gerade ist und b-c, dann muss a-c gerade sein.
Heißt, a-b=2n und b-c=2m. Addiert man die Gleichungen, erhält man
a-c=2m+2n=2(m+n) und ist somit gerade.
Es handelt sich somit um eine Äquivalenzrelation.
Vielen Dank. Sind aber die anderen Aufgaben richtig bearbeitet?
Ich wollte erst auf die Teilaufgaben eingehen, musste aber dann feststellen, dass das vermutlich nicht zielführend ist. Du musst erst einmal die Definitionen verstehen:
Du schreibst öfter etwas wie "Das Tupel (x,y) ist nicht reflexiv". Das ergibt aber überhaupt keinen Sinn. Denn Reflexivität ist keine Eigenschaft, die ein einzelnes Tupel hat, sondern eine Eigenschaft der gesamten Relation.
Genauer gesagt: Die Relation R ⊆ A x A heißt reflexiv, falls für alle a ∈ A gilt: (a, a) ∈ R.
Deswegen liegst du bei (1) zum Beispiel richtig: Die Relation ist nicht reflexiv, weil zwar (1,1) und (-1,-1) in der Relation liegen, aber z.B. (2,2) nicht (insbesondere liegt nicht für alle a ∈ R das Tupel (a,a) in der Relation, denn für a = 2 ist das nicht der Fall).
Die zweite Relation ist auch nicht reflexiv, weil z.B. (1,1) nicht in der Relation liegt, denn 1 + 1 ist nicht 0.
Reflexiv bedeutet das, was ich gesagt habe: Für jedes x liegt (x, x) in der Relation.
achso bedeutet das reflexiv (x,x) ist?