Transitivität beweisen?
Wenn ich eine Menge habe M={1,2,3,4,5} und die Relation dazu ist R:={(1,1),(1,2)(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,4),(5,5)} ist es dann transitiv? Ich kann halt die 5 nicht benutzen da sie nur einmal enthalten ist
3 Antworten
Hallo,
eine zweistellige Relation R auf M ist eine Teilmenge R von MxM.
Eine transitive Relation ist eine bestimmte zweistellige Relation.
Du kannst nur die Paare von R nutzen, die es in R gibt.
Für die 5 kannst du sie nur so nutzen: aus (5;5) und (5;5) folgt (5;5),
und das ist wahr.
Ich nehme an du wolltest untersuchen, ob z.B. aus
(3;5) und (5;2) folgt (3;2) usw.
Da es (3.5) und (5;2) in R aber nicht gibt, brauchst (bzw. kannst) du es auch nicht überprüfen.
Meditiere noch mal über "zweistellige Relation":
https://de.wikipedia.org/wiki/Relation_%28Mathematik%29#Zweistellige_Relation
R ist transitiv.
Gruß
Ich würd da einfach systematisch alle Kombinationen durchprobieren:
(1,1)(1,1)=(1,1) passt
(1,2) +(2,1)=(1,1) ist in R enthalten? ja. also: passt!
(1,2)+(2,2)=(1,2) ist in R enthalten? ja. passt
weiter mit (2,1):
(2,1)(1,1)=(2,1) passt
(2,1)(1,2)=(2,2) passt
weiter gehts mit (2,2):
(2,2)(2,1)=(2,1) passt
(2,2)(2,2)=(2,2) passt
weiter mit (3,4):
(3,4)(4,3)=(3,3) passt
(3,4)(4,4)=(3,4) passt
weiter mit (4,3):
(4,3)(3,4)=(4,4) passt
(4,3)(3,3)=(4,3) passt
weiter mit (3,3):
(3,3)(3,3)=(3,3) passt
weiter mit (4,4):
(4,4)(4,3)=(4,3) passt
(4,4)(4,4)=(4,4) passt
weiter mit (5,5):
(5,5)(5,5)=(5,5) passt
Im Pnrizp test du jede Kombination von 2 Elementen aus R und guckst ob die Kombination auch aus R ist.
Im Zweifelsfall gehst du alle möglichkeiten durch.
die "identitätspaare" kannst du ignorieren, denn bspw. ist
(1,1)und (1,2) folgt (1,2).
(1,2)+(2,1) ergibt (1,1) , ist auch drin.
insofern ergeben alle 2 paare wie (a,b)(b,a) wieder eine vorhandene id-relation.
passt also Alles.
(5,5) kannst du nur mit sich selbst verknüpfen, weil es sonst kein tupel gibt, das vorne oder hinten eine 5 hat.
und (5,5) x (5,5) ergibt eben wieder (5,5)