Ist eine rein reflexive Relation auch transitiv und symetrisch?

3 Antworten

Von Experte DerRoll bestätigt

Symmetrie ist recht einfach zu beweisen, siehe Mathmaninoff.

Transitivität ist eine Implikation

∀a, b, c ∈ A : ((R(a, b) ∧ R(b, c)) ⇒ R(a, c)). 

https://www.cis.uni-muenchen.de/~finkf/mm/slides/10_relationsIII.pdf

Wenn man nur reflexive Elemente hat, bekommt man den linken Teil schon gar nicht auf einen positiven Wahrheitswert {außer (R(a,a) und R(a,a)))=> R(a,a)}, wir haben also immer (mit der einen Ausnahme) 0 ==> {0,1}, hier 0 ==> 0. Und diese Implikation ist logischerweise wahr.

Transitivität wird daher auch mitunter negativ formuliert: Sie liegt dann nicht vor, wenn man verkettbare Elemente hat, aber keine Relation, welche die Verkettung alleine ausdrückt. Da man bei Dir aber bereits keine (verschiedenen) verkettbaren Elemente hat, kann die Negation der Transitivät nie vorliegen, daher liegt Transitivität vor.


user893833 
Beitragsersteller
 28.03.2023, 13:10

perfekt danke für die ausführliche Antwort war enorm hilfreich

Von Experte nobytree2 bestätigt

Reflexiv bedeutet im Fall M = {1,2,3}, dass {(1,1),(2,2),(3,3)} in R enthalten ist, aber es können noch mehr Paare enthalten sein, wodurch die Relation dann nicht mehr symmetrisch oder transitiv ist.

Ich habe den Begriff "rein reflexiv" noch nicht gehört, aber wenn damit gemeint ist, dass alle Elemente aus R die Form (x,x) haben, dann ist R aus symmetrisch und transitiv.

  • Symmetrie: Falls aRb, dann ist a = b und somit auch bRa
  • Transitivität: Falls aRb und bRc, dann ist a = b und b = c und somit auch aRc

Die Relation ist einfach nur die Gleichheit ("=").


user893833 
Beitragsersteller
 28.03.2023, 12:44

Okay danke also ist die Relation {(1,1),(2,2),(3,3)} eine Äquivalenzrelation?

Du gibst hier ein Beispiel für eine Relation an, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, also eine Äquivalenzrelation ist, aber das heißt natürlich nicht, daß jede reflexive Relation auch symmetrisch und/oder transitiv ist, falls das die Frage ist. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind logisch unabhängig voneinander.