Wie skizziere ich eine Ableitung ohne deren Gleichung zu kennen?
Also wenn ich jetzt bloß den Graphen einer Funktion habe und mir die Aufgabe gestellt wird:
Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion.
Wie soll ich das denn machen ? Ich habe weder die Gleichung der Funktion, noch die der Ableitungsfunktion..
Gibt es da irgendwelche Regeln die ich befolgen muss ?
3 Antworten
Wie schon von anderen mit anderen Worten gesagt: Die Ableitung beschreibt das Steigungsverhalten der Funktion. Daraus kennst Du (zumindest grob) folgende Schlüsse ziehen:
- Wo die Funktion steigt, ist die Ableitung positiv (d. h. > 0); wo die Funktion fällt, ist die Ableitung negativ (d. h. < 0)
- Wo die Funktion sehr steil verläuft, ist der Wert der Ableitung groß (also weit von der x-Achse entfernt, je nach der unter 1. festgestellten Richtung), wo die Funktion flach ist, ist der Wert der Ableitung klein (also nah an der x-Achse).
- Besondere Stellen sind die Extrema (Hoch- / Tiefpunkte) der Funktion, hier ist die Steigung 0, somit hat die Ableitung hier eine Nullstelle, bei einem Maximum der Funktion verläuft die Ableitung von + nach -, bei einem Minimum von - nach + (das folgt aus 1).
Weitere besondere Stellen, die man noch ganz gut mit bloßem Auge erkennen kann, sind die, wo die Funktion mit 45° aufwärts oder abwärts geht, hier ist die Ableitung gerade +1 bzw. -1 - aber das ist schon ziemlich spitzfindig, i. d. R. werden die ersten 3 Punkte reichen, um eine entsprechende Aufgabe zur Zufriedenheit der Lehrperson zu erfüllen.
Du kannst doch am Graphen der Funktion die Steigung erkennen und damit den Graphen der Ableitungsfuntkion skizzieren. Sind im Graphen Hoch- und Tiefpunkte zu erkennen, weißt du beispielsweise schonmal, dass hier die Steigung 0 ist und dementsprechend der Graph der Ableitungsfunktion einen Nullpunkt hat. Neben solchen exakten Punkten, kannst du am Graphen sehen ob der Graph der Ableitung im Minus- oder Plusbereich ist, je nachdem ob der Graph der Funktion steigt oder fällt.
- f Extrempunkte da f ' Nullstelle
- f Wendepunkt da f ' Extremwert
- f fällt da f ' unter x-Achse
- f steigt da f ' oberhalb x-Achse