(2n!/(n!*n!)) / (n+1)?
Wie kann man beweisen, dass
durch
teilbar ist (teilbar meint hier ohne Rest)?
ist ja beispielsweise 6, was durch 3 (2+1) teilbar ist, das Phänomen erstreckt sich auch bei anderen Werten für n als natürliche Zahl, aber wie kann ich beweisen, dass es immer so ist?
du hättest im Zähler lieber (2n)! schreiben sollen. Der Klarheit wegen.
Ach, ja, das habe ich vergessen!
4 Antworten
Da Binomialkoeffizienten natürliche Zahlen sind, muss diese Differenz eine ganze Zahl sein. (Weil auch n + 1 natürlich ist, handelt es sich sogar um eine natürliche Zahl.) Somit ergibt der gegebene Term durch n + 1 dividiert eine natürliche Zahl. Also ist der gegebene Term durch n + 1 teilbar.
Die Umformung n! = (n-1)!*n hätte man sich auch sparen können. Man hätte einfach (2n)!/(n!*n!) * 1/(n+1) = (2n)! / (n!*n!) * ((n+1)-n)/(n+1) rechnen können.
Zeige, dass folgende beide Aussagen wahr sind:
1) A(0)
2) A(n) => A(n+1)
verwende (n+1)! = n! * (n+1)
formuliere A(n+1) und versuche in A(n+1) mittels ( n+1)! = n! * (n+1) das A(n) zu identifizieren
(2n)! = 2n * (2n-1) * (2n-2) * .....
(2(n+1))! = (2n + 2)! = (2n + 2) * (2n +1) * (2n)!
zunächst stellt sich die Frage nach einer Formel für
(2n)!
Ist das nicht einfach 2n*(2n-1)*(2n-2)...*2*1? Oder kann man das noch anders / besser ausdrücken?
nee, das stimmt nicht- ich finde im Moment auch keine Formel dafür.
Normalerweise würde ich sagen, du machst das mit vollständiger Induktion...
Wie genau würde man das da machen? Einmal für n=0 und dann einen Wert >0?
Oder wie viele "Proben" macht man da dann immer?
Beginnen bei euch die Natürlichen Zahlen bei 0 oder bei 1? Dementsprechend dann 0 oder 1 als Induktionsanfang nehmen und dafür zeigen.
Dann gibt man in der Induktionsvoraussetzung an, dass das hier gesagte für ein beliebiges, aber festes n einfach gelten soll.
Nun folgt der eigentliche Induktionsschritt. Hier setzt man n auf (n+1). Aus allen n in der Formel machst du also eine (n+1). Dann versuchst du das so weit umzuformen, bis du die Induktionsvoraussetzung wieder benutzen kannst.
Im endeffekt zeigst du halt, dass die neue Formel dann meinetwegen durch (n+2) teilbar ist.
Induktion war nie meine Stärke sorry, so genau weiß ich das nicht mehr. Liegt etliche Semester zurück...
Okay, habe das nämlich auch noch nie gemacht😅
Für A(0) kriege ich das hin (ist ja nicht so schwer), aber wie macht man das denn bei 2) bzw. was genau bedeutet das?