2. Ableitung negativ ist Maximum?
Wieso ist das so, wenn man bei der ersten Ableitung etwas 0 setzt und dann in der 2. Ableitung etwas negatives hat, dass es ein Maximum ist, wie kann man das erklären?
2 Antworten
Maximum heißt ja, dass es der höchste Punkt ist. Das heißt, davor muss es steigen, danach muss es fallen. Im Maximum ist die Tangente parallel zur x-Achse, die Ableitung ist 0.
Die zweite Ableitung gibt ja an, wie stark die Steigung der ersten Ableitung ist. Wäre die zweite Ableitung positiv, würde das ja heißen, dass die erste Ableitung wieder am zunehmen ist, also eine positive Steigung hat (da sie ja im Maximum den Wert 0 hatte, würde er dann >0). Wenn die erste Ableitung wieder am zunehmen ist, müsste aber auch die Funktion wieder zunehmen... das kann also schon mal nicht sein.
Was aber sein kann ist, dass die zweite Ableitung 0 ist. Auch dann kann ein Maximum vorliegen. Ist zum Beispiel bei f(x) = -x^4 der Fall. Dann muss man mit der Vorzeichen-Wechsel-Methode der Ableitung bestimmen, ob es ein Maximum oder Sattelpunkt ist.
Zerfall?
Nein. Wichtig ist ja die Kombination aus Kriterium für 1. Ableitung und 2. Ableitung. Wobei die Aussage hinreichend ist (wenn 1. Ableitung = 0 und 2. Ableitung <0, dann ist es ein Maximum), aber nicht notwendig (es kann auch anders ein Maximum sein, siehe mein Beispiel)
links vom maximum "steigt" der Graph, also Ableitung >0,
am Maximum Ableitung=0,
rechts vom Maximum sinkt der Graph, also Ableitung <0.
heißt die Ableitung geht von positiv über 0 ins negative.
die Ableitungsfunktion sinkt also.
heißt, die steigung=ableitung der ableitungsfunktion it negativ.
d.h. die 2. ableitung ist negativ.
Also ist die dritte Ableitung sozusagen die Steigung an der Nullstelle? Aber ein Zerfall hat ja nicht sofort zu bedeuten, dass davor ein Hochpunkt war