0,9 Periode = 1 — euer Beweis?
Hi, ich kenne die Antwort schon. Wir haben das zuletzt im Mathe LK gemacht. Trotzdem würde ich mal gerne eure Begründungen für die Aussage oder auch euren Gegenbeweis sehen.
O.9 Periode = 1
Viel Spaß 🙃
7 Antworten
Hallo,
betrachte die Differenzen
1-0,9=0,1
1-0,99=0,01
1-0,999=0,001
usw.
Je mehr Neunen angehängt werden, desto mehr Nullen stehen zwischen dem Komma und der 1.
Die Differenz strebt also gegen Null.
Bei 0, Periode 9 beträgt die Differenz Null.
🤓
So haben wir das auch erklärt 🙃 bei unendlich vielen Neunen ist kein Platz mehr für eine 1
Du brauchst einfach 0.999999...
=9*1/10+9*1/100+9*1/1000+...
=9*(1/10+1/100+1/1000+...)
=9*(1/(1-(1/10))-1)=9*10/9-9=1
Das ist die geometrische Reihe mit q=1/10.
Das ist der Standardweg, wie man ihn in jedem Analysis-Lehrbuch findet:
https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6#Analytischer_Beweis
Er greift auf die geometrische Reihe zurück.
Es geht auch mit Intervallschachtelung. Im Wikipedia-Artikel werden diverse andere Wege beschrieben.
Ja, das ist auch ein sehr guter Weg um den Sachverhalt allgemeinverständlich zu erklären.
Allerdings werden viele dies nicht als Beweis akzeptieren und Dir entgegenhalten, dass "Man hat unendlich viele Neunen und daher passt einfach keine 1 mehr dazwischen" aus mathematischer Sicht unpräzise und viel zu schwammig für eine schlüssige Argumentation ist, auch wenn intuitiv klar ist, was Du damit meinst.
Das stimmt schon. Unser Lehrer hat das nebenbei ganz kurz erwähnt, so in zwei Sätzen, als kurzen Exkurs. Vorweg hat er auch gesagt, wir sind LK, wir werden das so verstehen, ein GK bräuchte dafür eine Doppelstunde 🤣
1 * 0,99... = 0,99...
10 * 0,99... = 9,99...
9 * 0,99... = 9,99... - 0,99... = 9
1 * 0,99... = 1
Die Begründung mit den neun Neunteln finde ich am Anschaulichsten.
Auch, dass man keine Zahl findet, die dazwischen liegt, ist überzeugend.
Wobei ich die hyperreellen Zahlen sehr interessant finde: Da gibt es Zahlen größer als null, aber kleiner als jede positive reelle Zahl - und die passen dann doch dazwischen.
Stimme dir da zu. Bei uns im LK haben das so ca. 95% verstanden (also so einer nicht 🤣). Sehr simpel und war auch nur ein Exkurs. Einer aus einem GK hat das nicht verstanden, ich habe es ihm genau so erklärt 😉
bei und haben wir einfach gesagt: 1/9 = 0.1 Periode, dann wären 9/9 = 0.9 Periode oder gleich eins.
Man hat unendlich viele Neunen und daher passt einfach keine 1 mehr dazwischen, da es halt unendlich ist. Daher 0.9 Periode = 1