Wie muss ich bei diesen Mathematischen Aufgaben vorgehen?
Hallo,
ich bräuchte Hilfe. Und zwar weiß ich nicht wie ich diese Aufgaben ausrechne.
Die Funktion f mit f(x)=1/9x^3-x^2+8/3x beschreibt das Höhenprofil (in 100m) einer 6km langen Radtour. Die Variable x ist die horizontale Entfernung vom Startpunkt in Kilometer.
a) Wie groß ist die durchschnittliche Steigung der Strecke, bevor es bergab geht ?
b) Um wie viel Prozent ist die größte Steigung auf diesem ersten Bergauf-Abschnitt größer, als die durchschnittliche Steigung ?
c) Über welche horizontale Entfernung verläuft die Tour bergab ?
d) Welcher Höhenunterschied wurde hier absolviert ?
e) An welcher Stelle der Strecke geht es am steilsten bergab ?
f) An welchen Stellen der Strecke ist die Steigung am größten ?
Muss ich den Hochpunkt bzw Tiefpunkt ausrechen ? Den Wendepunkt/-stelle oder die Wendetangente ??
Danke im vorraus
3 Antworten
Eure Lehrer tun immer so, als wenn kubistische Funktionen ein Abenteuer seien; so als wenn jede Kurve etwas Individuelles an sich hätte.
" Sie singen alle immer wieder die selbe Melodie. "
Für Spickzettel und Regelheft. Sie verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP . Da der ===> Leitkoeffizient positiv ist, ist die Asymptotik ( + °° ) für x ===> ( + °° ) Umgekehrt kommt sie von ( - °° ) ; dafür lassen sich zwei alternative Gründe angeben. Schon deshalb, weil das Polynom ja ungerade ist. Aber auch wegen der Spiegelsymmetrie. Wenn du Extrema hast, sind es immer genau 2 . Und zwar wegen der Asymptotik fällt das Maximum immer links und das Minimum rechts; da brauchts gar keine langatmigen Untersuchungen mit der 2. Ableitung. ( Es gibt auch Regeln ohne Ausnahme; z.B. musst du immer von Links nach Rechts lesen und nicht umgekehrt. )
( Außerdem ist das ja selbstbezüglich; " keine Regel ohne Ausnahme " ist ja selbst eine Regel. )
Nun bewirkt aber die Spiegelsymmetrie, dass diese beiden Extrema symmetrisch zum WP fallen; Spickzettel und Formelsammlung
x ( w ) = 1/2 [ x ( max ) + x ( min ) ] ( 1a )
f ( w ) = 1/2 [ f ( max ) + f ( min ) ] ( 1b )
Recht unkonventionell kommt Frage f) daher. Gefragt ist nach den Extrema der ersten Ableitung. Extrema auf einer Menge M , die gleichzeitig ===> innere Punkte von M sind im Sinne der ===> Topologie, heißen lokale Extrema . Alle Punkte einer Menge M, die nicht innere Punkte sind, heißen ===> Randpunkte; ein ( absolutes ) Extremum könnte ja auch Randpunkt des Definitionsbereichs sein. Um uns mit f) auseinander zu setzen, bednötigen wir ein typisches Teorem mit der Erfahrung von drei Silvestern Mensa, das für den Dienstgebrauch von Schülern fast schon zu hoch ist:
Satz vom Extremum
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Jede stetige Funktion y = f ( x ) nimmt auf einer ===> kompakten Menge K ihr absolutes Minimum und Maximum an.
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Betrachten wir in deinem Falle die Ableitung
f ' ( x ) = 1/3 x ² - 2 x + 8/3 ( 2 )
In dem WP der Funktion f ( x ) nimmt sie ein lokales Minimum an, das gleichzeitig ihr absolutes ist ( Wenn dir die Anschauung nicht genügt, mach die Kurvendiskussion ( KD ) von ( 2 ) ) Der WP ist ausgezeichnet als Punkt des steilsten Gefälles. Ein ( absolutes ) Maximum besitzt f ' jedoch nicht; zu Mindest dann nicht, wenn der Definitionsbereich von f gleich |R ist ( Da ja |R nur aus inneren Punkten besteht,
" Die reelle Achse ist eine Rand lose Brille. " ) müsste jedes absolute Maximum auch ein lokales sein; ( 2 ) kann aber nur ein Extremum haben - warum? ) In dem oben angegebenen Maßstab ist aber der Definitionsbereich auf das Intervall [ 0 ; 60 ] beschränkt; Kandidaten für absolutes Maximum von f ' sind somit nur die Randpunkte x = 0 und x = 60 .
f ' ( 0 ) = 8/3 . Das ===> Hornerschema habt ihr alle drauf; weiß ich von dem Konkurrenzportal ===> Lycos. Ganz große Künstler schaffen Horner im Kopf; ansonsten wenn du an dem exakten Wert von f ' ( 60 ) intressiert bist, nimm dir ein Schmierblatt; für Nummerik reicht's zur Not auch, Horner auf dem TR zu programmieren ( DAS solltest du unbedingt lernen; das ist wie großindustrielle Produktion. )
Selbst Erstsemester missverstehen obigen Extremumssatz gründlich; daher einige Beispiele und Gegenbeispiele. Wenn ich die Sinusfunktion auf ganz |R definiere, fallen ihre absoluten Extrema mit den lokalen zusammen. Die Funktion
f ( x ) := x ( 3a )
besitzt überhaupt keine lokalen Extrema; sie ist monoton. Gib ihre absoluten Extrema auf [ 0 ; 1 ] an. Besitzt sie absolute Extrema auf ( 0 ; 1 ) ? Die Normalhyperbel
f ( x ) := 1 / x ; 0 < x < = 1 ( 3b )
besitzt keine ( absoluten ) Maxima. Das ist kein Widerspruch, da ihr Definitionsbereich nicht kompakt ist.
Viele bringen dieses Teorem irrtümlich in Verbindung mit einer " notwendigen Bedingung f ' ( x0 ) = 0 " Erstens hat es damit gar nichts zu tun; und zweitens gibt es keine " notwendigen " Bedingungen. Es gibt nur hinreichende. Ganz einfaches Gegenbeispiel; die euch wohl bekannte Betragsfunktion besitzt in x0 = 0 ein lokales Minimum. Aber sie ist dort nicht differenzierbar, geschweige ihre Ableitung irgendeinen Wert besitzt. Die hinreichende Bedingung lautet, richtig formuliert
" Sei n gerade. Wenn f ( x ) in x0 eine n-fache Nullstelle besitzt ===> x0 ist lokales Extremum, wobei das Vorzeichen der n-ten Ableitung über Maximum / Minimum entscheidet. "
Betrachte den Fall
f ( x ) := x ^ 4 712 ( 3c )
( Für n > 1 ungerade ergibt sich ein ===> Terrassenpunkt )
n-fache Nullstelle - das heißt eben immer auch: n-Mal differenzierbar in einer ( offenen ) Umgebung von x0 . Die Nullstelle der Betragsfunktion hat gar keine " Ordnung "
( max Zeichen )
Vielen Dank für deine Antworten. Danke das du dir so viel Mühe gegeben hast.
Dies ist bereits Teil 2 meiner Antwort; hier ist das halt so verkehrt. Den ersten Teil solltest du ausdrucken, abheften und diagonal lesen; ich hoffe du beherrschst jene Technik, dir das heraus zu picken, was dich am Meisten intressiert.Hier kommt ein um das andere Mal die Nachfrage nach Themen für eine Studien-oder Jahresarbeit. Hier ich hab was für euch; die ===> Kochsche Schneeflockenkurve, ein " patologisches " ===> Fraktal. Ihre Konstruktion kam sogar schon in einer Computerzeitschrift.
Ihr alle wisst, dass aus der Differenzierbarkeit die Stetigkeit folgt - aber nicht umgekehrt. Die Kochkurve ist nun ein Beispiel für eine Kurve, die überall auf |R stetig ist, ohne auch nur in einem Punkte differenzierbar zu sein. Wann genau ist eine Funktion monoton? Ihr wisst, dass wenn f ' ( x ) > 0 auf einem Intervall, dann ist f ( x ) streng monoton wachsend auf dem Intervall. Gilt auch die Umkehrung? Jein; ganz erstaunlich
" f ( x ) ist streng monoton wachsend auf dem Intervall J <===> f ' ( x ) existiert ===> fast überall ( f.ü. ) ; und es ist f ' ( x ) > 0 . "
Die Kochkurve ist NIRGENDS differenzierbar; auf keinem ( noch so kleinen ) Intervall kann sie monoton sein; sie ist nicht Stück weise monoton. Dann folgt aber, dass sie auf jedem noch so kleinen Intervall lokale Extrema besitzt; ihre Extrema liegen ===> dicht. Ich sage euch dies alles, weil ich genau weiß, dass ihr euch bei dem Satz vom Extremum unheimlich geglättete Kurven vor stellt; nein, der gilt eben auch für total spastische Funktionen.
Ich komme jetzt zu Punkt e) , und das aus einem ganz wesentlichen Grund. Wie wichtig der WP ist, das war in ( 1.1ab ) schon dran; diesen Trick solltet ihr euch übrigens bei ===> Steckbriefaufgaben zu Nutze machen. Eure Lehrer verblasen euch ja das Hirn mit zweiter und wohl möglich noch dritter Ableitung; wieder Spickzettel und Formelsammlung. Also deine Form ist schon mal " Karl Murx " ; für den WP zu ermitteln, musst du dein Polynom erst mal in Normalform bringen:
F ( x ) = x ³ - 9 x ² + 24 x ( 2.1a )
x ( w ) = - 1/3 a2 = 3 ( 2.1b )
Als Nächstes wende ich mich den Unterpunkten a und d) zu; hier wird offensichtlich erwartet, dass du die beiden Extrema ermittelst. Du musst die Ableitung gleich Null setzen in ( 1.2 ) . Falls du das jetzt mit der Mitternachtsformel angehst - schau mal, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Hast du dich von deinem Schock erholt? Aber von Opa Gauß stammt das " nie in se Leben " Gauß ist Kult; warum hat dein Lehrer noch nie vom SRN vernommen? Die älteste Quelle, die Wiki zu benennen weiß, stammt aus dem Jahre 2006. 2006 - Entdeckungsjahr des SRN - will ich gerne glauben ... WARUM ist Wurzel ( 2 ) irrational? Im japanischen ===> Zenbuddhismus bezeichnet man den Moment der Erleuchtung als ===> Satori; das fühle sich dann so an, wie wenn dir ein Tiger ins Genick springt ... Wenn doch Gauß der Entdecker ist - warum musste die Welt dann geschlagene 200 Jahre auf diesen Irrationalitätsbeweis warten? Aber es kommt noch besser; du kennst sie ja, diese Bilderfälscher, die, wenn sie ertappt werden, sich hinstellen und behaupten, moderne Materialien habe eben schon Rembrandt zur Verfügung gehabt ... Innerhalb nur einer Woche, nachdem mir der SRN bekannt wurde, machte ich drei Entdeckungen, von denen Wiki nichts weiß ( War etwa Gauß dümmer als ich? ) Zwei werden wir heute zu verhandeln haben: Meine " Gilgamesch " pq-Formeln so wie den gkt eines Polynoms. Was Wiki eben falls sträflich vernachlässigt: Du musst erst mal ( 1.2 ) in ===> primitive Form bringen ( ganzzahlig gekürzt )
g ( x ) = x ² - 6 x + 8 = 0 ( 2.2 )
Wettest du gerne? Ich wette, dass hier rationale Wurzeln heraus kommen, weil Schulaufgaben grundsätzlich auf gehen.
x ( max / min ) =: p1;2 / q1;2 € |Q ( 2.3a )
p1 p2 = a0 = 8 ( 2.3b )
q1 q2 = a2 = 1 ( 2.3c )
Und weder Gauß noch sonst jemand in den vergangenen 200 jahren bis zu mir sollte die Bedeutung von ( 2.3bc ) durchschaut haben? voll abwegig. Aber durchaus glaubhaft, wenn es sich hier um Samisdat handelt, die Entdeckung eines Amateurs, von der ich erstmals 2011 erfuhr. ( Der Amateur ist nicht so betriebsblind wie unsereiner; ihm fehlt aber umgekehrt auch meine systematische Herangehensweise. )
Du hast verstanden, dass wir das Absolutglied 8 zerlegen müssen. Da aber " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt, kommen wir hier in einen Zwiespalt. Hierrfür gibt es die cartesische Vorzeichenregel " Zwei Mal Plus "
0 < x ( max ) < x ( min ) ( 2.4 )
Nun besitzt die 8 zwei Zerlegungen; die triviale 8 = 1 * 8 ( die wir verwerfen müssen ) so wie die nicht triviale 8 = 2 * 4 ( die sich anbietet, weil beide Wurzeln gerade sein müssen - ihr ggt ist 2 . ) Hoppla - woher weiß ich jetzt das schon wieder? ( max Zeichen; immer wenn's am spannendsten ist. )
Dies also Teil 3 meiner Antwort; ich komme zum Schluss. Unser Perfektionist Prof. Kulze hätte die Kreide auseinander gebrochen
" Meine Damen und Herren; wir haben uns das letzte Mal mit dem ggt quadratischer Gleichungen beschäftigt. "
Woher komme ich auf den ggt von ( 2.2 ) Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Satz von ===> Vieta
m | x ( max / min ) <===> m | p ; m ² | q ( 3.1 )
Ein m, das die rechte Seite von ( 3.1 ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms g ( x ) in ( 2.2 ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-teiler ist dann selbst redend der gkt . Die Behauptung
ggt x ( max / min ) = gkt ( g ) ( 3.2 )
Ist damit die Lösung schon eindeutig bestimmt? Noch nicht; das sind alles nur notwendige Bedingungen. Denn woher sollen wir wissen, dass die Rationalitätsforderung ( 2.3a ) auch tatsächlich erfüllt ist? ( Den Koeffizienten p haben wir bisher überhaupt noch nicht in die Probe einbezogen. )
Aber die Symmetrieforderung ( Mittelwertbedingung ) ( 1.1a ) ist hinreichend; vgl. ( 2.1b )