Kann mir jemand erklären was Ergodische Bewegung ist?

  Dies ist jetzt Teil 2 meiner Antwort. Dieser Editor ist schon bissele kryptisch; ich schrieb, Beziehung ( 1.1 ) kann unmöglich gelten, weil, gemessen an ihrer Quadrartmeterzahl, die Bahn B eine ===> Nullmenge ist.

   Fehlerberichtigung; der Satz unmittelbar über ( 1.2a ) muss heißen

Wenn X0 € K und du wartest nur eine u n b e g r e n z t e  Zeit t0 ; ich hatte Nonstandard Zeit t0. Das wäre falsch ( warum? )

   Dann nach ( 1.2b ) geht wieder ein Satz von mir verloren

  " Nelsons äußeres Prädikat ' Standard ' vergleiche ich immer mit dem Prädikat Farbe beim Farbfernsehen. "

   Der letzte Satz nach ( 1.3 ) war

Genau genommen " Meter hoch 6 (E23) " , weil EIN Phasenpunkt stellt das ganze System aus (E23) Teilchen dar.

  Und jetzt geht dieser geniale Knabe, dessen Name mir entfallen ist und der in der Literatur praktisch tot geschwiegwen wird - der geht her und fragt sich

  " Hoppla; WARUM berechne ich eigentlich das Phasenvolumen so, wie ich das tue? "

  Man kennt das; das Wahrscheinlichkeitsmaß diskreter Ereignisse ergibt sich aus der Entropie, der " maximalen Unwissenheit " nach Claude E. Shannon und Norbert Wiener. Aber wie bemisst sich ein kontinuierliches statistisches Maß?

   Wir betrachten jetzt mal die Hyperebene U , auf die das System eingeschränkt ist auf Grund der Zwangsbedingungen, die durch die ganzen Erhaltungssätze gestellt werden. Wir wollen einmal bewusst voraus setzen, dass es keine verborgenen Periodizitäten gibt so wie bei Maxwells rationalem Rechteck.

   Seien U1;2 zwei Untermannigfaltigkeiten von U ; ferner t ( U1 ) die Aufenthaltsdauer in dem Unterraum U1 so wie V ( U1 ) das Volumen von U1. Sei wieder t0 unbegrenzt groß; dann gilt, wenn wir das System nach Ablauf der Zeit t0 betrachten

     V  (  U1  )

 ------------------------  =  [  t  (  U1  )  /  t  (  U2  )  ] *      (  2.1  )

    V  (  U2  )

     Die aufenthaltsZEITEN verhalten sich streng wie die VOLUMINA .

   Die SA kann diesen Sachverhalt natürlich nur wieder aussagen im Limes t ===> ( °° ) ; aber dafür hast du ja auch auf der rechten Seite von ( 2.1 ) diesen Stern ( robinson-Lemma ! )

   Ein System, das der Gesetzmäßigkeit ( 2.1 ) unterliegt, heißt ergodisch. Dabei verhält sich das System ergodisch im Zeitmittel eben weil wir strengen Determinismus der Wechselwirkung voraus setzen.

  Praktisch bedeutsam wird der Ansatz der kanonischen Mechanik, das " Scharmittel " sei durch das Phasenraumvolumen gegeben, also Scharmittel = Zeitmittel. Demnach befinden sich bei einer Großzahl von Teilchen immer anteilig genau so viele in einem gegebenen Unterraum, wie der volumenanteil angibt.

  Im Gegentum zum Zeitmittel lasse sich dieses Scharmittel gerade nicht rechtfertigen, lässt sich der Autor vernehmen. Scharmittel entspreche der annahme, dass ein statisches, unveränderliches termodynamisches Gleichgewicht vorliegt.

Das ist ein Mittelding zwischen einer Trajektorie und einem völlig chaotischen Verhalten.

Eine Trajektorie ist deterministisch. Kennt man die Anfangsbedingungen, kann man für jeden beliebigen Zeitpunkt den Bahnpunkt bestimmen, auf dem sich das System/der Körper befindet. Beispiele: freier Fall, harmonisches Pendel.

Bei einem chaotischen Verhalten kann man nicht vorhersagen, wo sich der Körper nach einer bestimmten Zeit befindet. Beispiel wäre ein Gasmolekül in einem abgeschlossenen Behälter. Das Molekül kann sich irgendwo im Behälter befinden und die Wahrscheinlichkeit, es an einem beliebigen Ort im Raum zu finden, ist überall gleich groß. Der mögliche Aufenthaltsort füllt den gesamten Phasenraum mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus.

Bei einem ergodischen System haben wir keine Trajektorie aber auch keinen vollständig gefüllten Phasenraum. Innerhalb des Phasenraumes wird nur ein bestimmter Bereich als Lösung gefunden aber innerhalb dieses Bereiches ist dann wiederum wie beim Chaos keine exakte Vorhersage möglich. Man kann nur eine Wahrscheinlichkeit für eine konkrete Lösung angeben.

Die Antwort des Hamburgers ist genau falsch. 1934, als der ===> Indeterminismus der ===> QM längst fest stand, wurde Folgendes bewiesen. Ach vielleicht sollte ich doch noch etwas voraus schicken; ich bin ein Genie. Im Alter von zehn Jahren fragte ich mich, welche Zickzackbahn ( im Ortsraum; für Phasenraum war ich noch entschieden zu klein ) ein Massenpunkt beschreibt, der an den Kanten eines Rechtecks reflektiert wird ( Immerhin war ich schon in Kl. 3 das Chemiewunderkind mit den Kenntnissen von Kl. 10. ) Hingegen gab ich diesen Dingen keine Weiterung; ich sprach nicht etwa jemanden darauf an. Es verblieb alles irgendwo im Unbewussten. Nur morgens nach dem Aufwachen bzw. abends vor dem Einschlafen betrachtete ich Gedanken versunken das Fenster in meinem Schlafzimmer

" Wie, wenn das jetzt diese Rechteckfläche wäre? "

Schon ein bissele seltsam; in der Aufgabe hat die Rechteckfläche selbstverständlich horizontal zu liegen. Nur als Gegenargument gegen die Sozialisten, die immer sagen, Kinder von Akademikern haben's leichter - die Antwort ist ein klares Jein. Mein Daddy war Ingenieur - woher hätte der die Antwort jetzt aus dem Ärmel schütteln sollen? Dann im Promotionsstudium auf einmal kamen mir wieder jene Erinnerungen an " rauschhaft " durchlebte Kindertage. Doch - bin ich auch mal sprachschöpferisch tätig. Meine Kindheit war alles andere als von jener sprichwörtlichen " Seligkeit " überschattet . Und als sorglos, fröhlich und unbeschwert würd ich sie auch nicht grad bezeichnen; da ist aber jener " Tiefenrausch " , der mich drei Jahre begleitete. Jenes prickelnde, brausende überschäumende Gefühl, dessen Ursache zu erläutern hier doch bissele weit führen würde. Zufällig fiel mir ein Buch in die Hand, wo ausgesagt wurde, dass sich bereits jenes Urgestein ===> James Clerk Maxwell meine Frage zur Brust genommen hatte. Antwort

" Ist das Seitenverhältnis rational, so ist die Bahn einfach periodisch. " ( Ich könnt mir aber schon vorstellen, dass es bei einem Seitenverhältnis von 4 711 : 9 876 eine sehr lange, sich überkreuzende Periode wird; sdchließlich liegen die irrationalen Zahlen dicht in den rationalen und umgekehrt; praktisch sollte es unmöglich sein festzustellen, welcher Fall vorliegt. ) Und im Falle eines irrationalen Seitenverhältnisses ist die Bahn ===> bedingt periodisch ( BP )
Was heißt das - BP? Wenn ich einmal die Rechtecksfläche mit K bezeichne und die Bahn mit B, dann ist unmöglich

   x  €  K  ===>  x  €  B    (  1  )

 ganz einfach deshalb, weil, gemessen an ihrer Quadratmeterzahl, die Bahn B eine ===> Nullmenge darstellt; sie kommt " fast nirgends " hin ( Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt auf B liegt, ist Null. )

Was jetzt passiert, lässt sich besonders gut mit den Mitteln von ===> Edward Nelsons NonstandardA nalysis ( NSA ) beschreiben ( Die Moderatoren ließen mich wissen, es sei bewusst gewollt, dass du das WortA nalysis nicht schreiben darfst; dies habe jedoch juristische und geheimdienstliche Gründe. Meine Vermutung, dies habe vielleicht mit dem Adjektiva nal zu tun, wurde dementiert. ) Ein sehr gutes Buch ist Alain Robert bei Wiley. Was BP ist, lässt sich mit den Mitteln der NSA Wunder voll ausdrücken; ich selbst reserviere ja Großbuchstaben ausdrücklich für Standardobjekte, um Missverständnisse zu vermeiden. BP heißt:

Wenn X0 € K und du wartest nur eine Nonstandard Zeit t0, dann gilt für ein geeignetes t < t0

 [  B  (  t  )  ] *  =  X0        ( 2a )

D.h. innerhalb einer unbegrenzt großen Zeit kommt die Bahn jedem X inf(initesimal) nahe. Erinnert sei an jenes Teorem, dass die Menge K kompakt ist genau dann wenn

 x  €  K  ===>  x *  €  K    (  2b  )

 Nelsons äußeres Prädikat " Standard " vergleiche ich immer gerne mit dem Prädikat " Farbe " beim Farbfernsehen. Insofern wäre SA gleichzusetzen mit " Schwarzweißanalysis "

Dass die Metaebene E2 über Ebene E1 Aussagen gestattet, die diese über sich selber nicht beweisen kann, das ist altbekannt. Nelson IST eine Metaebene der ZFC ; was wohl doch etwas unerwartet kam: Die Metasprache E2 gestattet es, die Sachverhalte von E1 viel einfacher und schneller einzusehen. Die ursprüngliche Beschreibung des BP Verhaltens arbeitet ja mit diesem unseligen Weierstrassschen Epsilon ( " Epsilontik " )

" (V) € > 0 (E) t0 = t0 ( € ; x0 ) , so dass für ein geeignetes t < t0 die Bahn b näher an x0 vorbei führt als € . "

Das klingt nach Wiederkehreinwand; schnell wird t0 > Gogoplex * Weltalter ... Das ist auch nicht eben Vertrauen erweckender als unbegrenztes t0, das mit sicherheit eines ist: größer Gogoplex . Und was wurde 1934 entdeckt? Der Phasenraum funktioniert ja so. Du hast (E23) Massenpunkte; für jeden 3 Orts-und drei Impulskoordinaten. Du gehst doch jetzt her und berechnest das Phasenvolumen

dx  dy  dz  dp ( x ) dp ( y ) dp ( z )      ( 3 )

( max Zeichen )