Die Information des Jugendamtes ist falsch bzw. nicht komplett. Natürlich kann der Vater nicht verheirateter Eltern gemeinsam mit der Mutter eine Sorgeerklärung abgeben. Das ist und war der Regelfall.
Aber: Seit 2013 kann der Vater sein Sorgerecht auch gegen den Willen der Mutter durchsetzen. Sollten die Eltern in dieser Frage nämlich keine Einigung erzielen können, muss der Vater beim Familiengericht die Übertragung der elterlichen Sorge auf beide gemeinsam oder auf sich alleine beantragen.
Es handelt sich dabei um die Einzelrechtsnorm im § 1626b insb. der Abs. 1 Pkt. 3 und Abs. 2.
(1) Sind die Eltern bei der Geburt des Kindes nicht miteinander verheiratet, so steht ihnen die elterliche Sorge gemeinsam zu,
1.wenn sie erklären, dass sie die Sorge gemeinsam übernehmen wollen (Sorgeerklärungen),
2.wenn sie einander heiraten oder
3.soweit ihnen das Familiengericht die elterliche Sorge gemeinsam überträgt.
(2) 1Das Familiengericht überträgt gemäß Absatz 1 Nummer 3 auf Antrag eines Elternteils die elterliche Sorge oder einen Teil der elterlichen Sorge beiden Eltern gemeinsam, wenn die Übertragung dem Kindeswohl nicht widerspricht. 2Trägt der andere Elternteil keine Gründe vor, die der Übertragung der gemeinsamen elterlichen Sorge entgegenstehen können, und sind solche Gründe auch sonst nicht ersichtlich, wird vermutet, dass die gemeinsame elterliche Sorge dem Kindeswohl nicht widerspricht.
(3) Im Übrigen hat die Mutter die elterliche Sorge.
Ausschlaggebend ist hierfür wie immer der Begriff des Kindeswohls.
Zitat: "Es gilt folgendes Regel-Ausnahme-Verhältnis: Es wird zunächst einmal grundsätzlich vermutet, dass die Übertragung des gemeinsamen Sorgerechts dem Kindeswohl dient. Deshalb ist auf Antrag grundsätzlich das gemeinsame Sorgerecht auf beide Eltern zu übertragen, falls nicht ein Ausnahmefall vorliegt (OLG Nürnberg FamRZ 2014,571; OLG Koblenz NZFam 2015,90). Der Antrag auf gemeinsames Sorgerecht kann (nur) abgewiesen werden, wenn mit erheblicher Gewissheit festgestellt wird, dass die gemeinsame Sorge dem Kindeswohl widersprechen würde." (aus: www.scheidung-online.de)
Für die Durchsetzung rate ich die Hinzuziehung eines Fachanwaltes für Familienrecht. Im Übrigen rate ich dazu, in diesem Zuge auch gleich das Umgangsrecht neu zu regeln.
Ich wünsche viel Erfolg.