Wie kommt der Begriff "nullteilerfrei" zustande?
Guten Abend,
ich habe mich gerade nur gefragt, woher der Begriff "nullteilerfrei" herkommt. Die Definition ist mir bekannt, ein Ring R ist nullteilerfrei, wenn für alle a,b in R gilt: Aus a*b=0 folgt, dass a=0 oder b=0.
Stammt der Begriff daher, dass man es auch als Bruch auffassen kann, also a = 0/b und somit sagt, dass es keine a,b =/= 0 gibt (für b sowieso) die das erfüllen, es also keine "Nullteiler" gibt? Wenn es dann aber Nullteiler gibt, dann ist der Ring kein Körper und es gibt (unter Umständen[?]) überhaupt keine Inversen, also keine Teiler. Ergibt der Begriff dann noch Sinn?
Ich weiß nicht, vielleicht denke ich gerade einfach wirren Unsinn oder stehe komplett auf dem Schlauch, aber es wäre sehr nett wenn mich jemand aufklären würde.
Ich freue mich über jede Antwort!
2 Antworten
Stammt der Begriff daher, dass man es auch als Bruch auffassen kann, also a = 0/b und somit sagt, dass es keine a,b =/= 0 gibt (für b sowieso) die das erfüllen, es also keine "Nullteiler" gibt?
Nee, nicht wirklich. 0/b bzw. 0*b^(-1) setzt voraus, dass b ein inverses Element besitzt. Das ist ja gerade das, was Ringe von Körpern unterscheidet: Ringelemente haben nicht zwingend inverse Elemente.
[ Zudem legt 0/b eine Struktur nahe, die in gewisser Weise der der reellen Zahlen entspricht, nämlich dass die links- und rechtsseitige Multiplikation gleich ist. Das ist in Körpern zwar so, aber beispielsweise im Matrizenring ist das nicht so. Aus der Gleichung A=B*C für Matrizen A,B,C (B sei invertierbar) folgt erst einmal nur A=C*B^(-1) und nicht A=B^(-1) * C. Man würde also nicht A=C/B schreiben, weil daraus nicht klar wird, "von welcher Richtung" multipliziert wird.]
Der Begriff des Nullteilers geht einfach aus der formalen Definition von Teilbarkeit hervor: Ein Ringelement a ist durch ein Ringelement b teilbar, wenn es ein Ringelement c gibt, dass a=b*c erfüllt.
Wenn wir jetzt 0=a*b haben, würden a und b ja definitionsgemäß Teiler der Null sein. In Körpern will man die eben nicht haben (bis auf 0 selbst, aber es ist eh Definitionssache, ob man 0 als Teiler der 0 zulässt).
Wenn es dann aber Nullteiler gibt, dann ist der Ring kein Körper und es gibt (unter Umständen[?]) überhaupt keine Inversen, also keine Teiler.
Ist eine Zahl a ein Nullteiler, so ist a nicht invertierbar; das solltest du für dich mal beweisen, vielleicht wird die Sache dann klarer.
Insbesondere ist der Ring dann kein Körper, wie du schon sagtest.
Anders herum gilt das aber nicht: Nicht jeder Nicht-Nullteiler ist invertierbar und nicht jeder nullteilerfreie Ring ist ein Körper. Versuche hierzu mal Beispiele zu finden und argumentiere, was für die Körpereigenschaften noch fehlt.
Vom Gedanken stimmt der Beweis, man muss es nur noch sauber formulieren. Gerade zu Beginn sollte man wirklich notieren, welche Ringeigenschaften man wo benutzt:
Aus a*b=0 folgt a^(-1) * (a*b)= a^(-1)*0.
Links kann man die Assoziativität der Multiplikation des Ringes nutzen, rechts kommt 0 raus (Wieso eigentlich? Das könntest du auch mal versuchen, ist 'ne nette Übung). Damit hat man (a^(-1)*a)*b=0.
Nun kommt in der Klammer definitionsgemäß 1 raus, und 1*b=b, also b=0, was nicht sein kann. Also ist a entweder nicht invertierbar oder kein Nullteiler.
Wenn a*b=0 mit a, b ungleich 0, dann sind a und b offenbar Teiler der Null, also Nullteiler.
Vielen, vielen Dank!
Bzgl. des Beweises, spontan (und sehr grob) hätte ich gesagt:
Ang. eine Zahl a=/=0 sei ein Nullteiler und invertierbar, so ex. eine Zahl b=/=0, sodass ab=0. Da invertierbar gilt auch
a^-1 * a * b = a^-1*0 = 0
1*b = b = 0 (Widerspruch, da b=/= 0 nach Vorraussetzung)
Somit ist a nicht invertierbar.
Stimmt das so ungefähr?