Gesucht werden zwei Funktionen f und g, sodass folgendes gilt:

f(x) * g'(x) = f'(x) * g(x)

Mit der Bedingung, dass g(x) kein Vielfaches von f(x) ist, also dass es kein k€IR gibt, sodass g(x) = k * f(x) ist. Fällt jemanden etwas dazu ein? Hier zwei Beispiele welche nicht klappen würden:

Wenn f(x) und g(x) gleich wären, dann würde f(x) * g'(x) = f'(x) * g(x) natürlich gelten, aber dann wäre g(x) = 1 * f(x) also gibt es so ein k

f(x) = 2x² und g(x) = 0.5x², dann wäre zwar f(x) * g'(x) = f'(x) * g(x) wahr, aber g(x) = 1/4 * f(x), also finden wir wieder ein k.

Ich glaube allgemein dürfen f und g keine Polynome sein, habe ich so das Gefühl ... Hat jemand eine Idee?

Meine Lösung: Jo, konvergiert.

1/k² konvergiert, nach Majoranten-Kriterium konvergiert die Reihe also

Sorry wenn ich so oft nachfrage, ich verstehe es aber einfach nicht. Diese Aufgabe soll wohl sehr einfach sein, ich verstehe aber trotzdem nicht wie sie geht :(((

Ich hätte mir folgendes gedacht: Um die Abbildungsmatrix zu bestimmen, schau ich mir einfach die Bilder der Basisvektoren an. Leider verstehe ich nicht so ganz, was z denn jetzt sein soll. Einerseits wird z bei der Definition von IQ(3wurzel(5)) verwendet, andererseits ist das jetzt aber auch ein Element von IQ(3wurzel(5)). Das sind doch hoffentlich zwei unterschiedliche z, oder? Wenn z ein Element aus IQ(3wurzel(5)) ist, dann bedeutet das ja, dass z das hier ist:

 α,β,γ€IQ. Danach wird aber erst IQ(3wurzel(5)) als Vektorraum über IQ gesehen, dann wird die Abbildung Tz Endomorphismus vom IQ-Vektorraum IQ(3wurzel(5)) definiert, und wenn das z so wäre, wie ich es gesagt habe, dann wäre es ein Skalar, also kann das mit dem z ja schonmal nicht hinhauen, weil z ja kein Element aus IQ ist somit kein Skalar sein kann. Ich checke einfach nicht, wie dieses z denn nun aussehen soll. Das x ist ein Element aus dem Vektorraum, also ist x ein Vektor, der somit wiefolgt aussieht:

Wenn x jetzt ein Basisvektor ist, dann wären zwei Unbekannte 0, die übriggebliebene wäre 1. Und was nun? Ich verstehe einfach nicht, wie so ein z aussieht und was dann in der Abbildung mit den x und z passiert, kann mir das jemand erklären, danke :(

Also erstmal kann man schnell zeigen, dass dieses Intervall nicht abgeschlossen ist, weil ja zb 1/(n+1) in (0,1) drinne liegt, aber der Grenzwert 0 ist und nicht drinne liegt, also kann (0,1) schonmal nicht geschlossen sein. Das heißt aber noch lange nicht, dass es auch offen ist, dafür müsste man nachweisen, dass es für ein beliebiges x€(0,1) immer ein ε>0 gibt, sodass die ε-Umgebung um x vollständig in (0,1) liegt. Wie kann ich das machen? Habe wirklich gar keinen Plan ;(

Also so auf den ersten Blick würde ich sagen:

A ist offen und dementsprechend nicht kompakt

B ist abgeschlossen und kompakt

bei C bin ich mir noch nicht ganz sicher

D ist abgeschlossen, bei Kompaktheit bin ich mir nicht sicher.

Ist automatisch jede Menge, die abgeschlossen ist, kompakt?? Jetzt habe ich ein kleines Problem, diese Behauptungen auch zu zeigen.

Bei der a) dachte ich vielleicht, ich nehme einfach eine Folge die vollständig in A liegt aber gegen zb 0,0 konvergiert, was ja nicht Element aus (0,1)² ist. Aber wie genau kann ich eine solche Folge konstruieren? In 1d hätte ich einfach gesagt: Sei an = 1/(n+1), dann ist an€(0,1), aber der Grenzwert wäre 0, also außerhalb von (0,1). Jetzt würde ich das ganze gerne auf IR² übertragen, aber wie genau mache ich das? Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das aufschreiben soll, kann mir da jemand ein kurzes Beispiel geben?

Bei der b) hätte ich einfach das Komplement von B (IR²\B) genommen und gezeigt, dass das offen ist, also analog zu a) eine Folge konstruiert die gegen etwas konvergiert, was nicht im Komplement liegt. Folglich muss B dann geschlossen sein, also alle Folgen in B konvergieren auch gegen etwas in B (sofern sie konvergent sind). Das ist einfach die Definition von Folgenkompaktheit, also ist B kompakt.

Wie gesagt, bei der c) muss ich noch nachdenken.

Bei der d) kann man das ganze doch genauso wie bei der b) machen? Hier hat mir aber ein Freund erzählt, dass das nicht kompakt sei... Ich weiss nur leider nicht wieso. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Ich verstehe einfach nicht, was dieses "Wir setzen V/U = V/~" bedeuten soll und wie diese Operationen definiert sind. Ich habe herausgefunden, dass V/~ für die Menge der Äquivalenzklassen steht. [v]~ steht für die Äquivalenzklasse von v und die Menge besteht aus allen w€V, für die ein u€U existiert, sodass w+u=v, also:

[v]~ = {w€V | ∃u€U: w+u=v}

So, ich hab mir das jetzt einfach mal wie folgt vorgestellt: Sagen wir mal, U ist ein echter Unterraum von V und V sei jetzt einfach mal IR³. U ist jetzt einfach mal IR², also ein echter Unterraum von V, man könnte sich U also quasi wie die xy Ebene vorstellen im IR³. Jetzt sind zwei Elemente aus V (also IR³) genau dann in einer Relation, wenn sie in einer Ebene liegen, die parallel zur "U-Ebene" ist. Somit ist die Menge [v]~ für jedes v€V unendlich groß (richtig?).

V/~ ist nun also einfach die Menge dieser Äquivalenzklassen. Aber was heißt dieses "Wir setzen V/U = V/~"? V ohne U ist erstmal bloss eine Menge von Vektoren, V/~ hingegen ist eine Menge von Mengen mit Vektoren, wo macht das also Sinn??

Außerdem, wie kann ich mir diese Operationen denn genau vorstellen? Hier werden auch wieder zwei ganze Mengen addiert und nicht einfach zwei beliebige Elemente, ich checke es einfach nicht. Wäre jemand so nett und erklärt mir das in einfachen Worten? :(

Wir haben Häufungspunkte als Grenzwert einer Teilfolge einer Folge definiert. Jetzt soll gezeigt werden, dass eine Folge nicht alle reellen Zahlen als Häufungspunkte haben kann. Wie zeige ich, dass es so eine Folge nicht geben kann? Das klingt natürlich logisch, weil die reellen Zahlen überabzählbar sind, und wenn die alle Häufungspunkte wären, dann könnte man die ja schon irgendwie abzählen, liege ich damit richtig? Leider weiss ich nur garnicht, wie ich das jetzt formal beweisen kann, hat da jemand einen Tipp für mich?

Ich lese immer Aussagen wie:

In Materie ist Licht langsamer als im Vakuum, ...

https://de.wikipedia.org/wiki/Lichtgeschwindigkeit#Lichtgeschwindigkeit_in_Materie

Ich frage mich aber, ob diese Aussage wirklich so stimmt, wenn ja, wieso? Ich habe immer gedacht dass es so sei: Licht bewegt sich immer mit derselben Geschwindigkeit, wenn wir das Licht eine Strecke s zurücklegen lassen wird es dabei immer dieselbe Zeit t brauchen, unabhängig vom Medium. Der Grund wieso Licht scheinbar länger braucht wenn man es durch ein Medium jagt, ist einzig und allein der, dass das Licht auf dem Weg mit dem Medium, genauer mit den Atomen des Mediums interagiert. Das Licht wird innerhalb dieses Mediums absorbiert, transmittiert, emittiert oder reflektiert und gestreut, aber behält stets seine Geschwindigkeit bei. Das Licht legt innerhalb dieses Mediums also einen größeren Weg zurück, weil es nicht "gerade durchgeht", sondern quasi Umwege macht, also im Zigzag das Medium durchläuft. Dadurch entsteht der Eindruck, dass das Licht durch das Medium verlangsamt wird, also eine geringere Geschwindigkeit hat. Aber eigentlich legt das Licht einfach mehr Weg zurück und benötigt somit einfach mehr Zeit, somit bleibt die Geschwindigkeit des Lichts die ganze Zeit über konstant.

Liege ich mit dieser Annahme richtig? Wenn nein, was sind dann die Gründe dafür, dass das Licht verlangsamt wird (auf atomarer Ebene)? Ich kann mir einfach nicht vorstellen, dass sich das Licht einfach mal so dazu entscheidet, langsamer zu bewegen nur weil sich Atome darum befinden. Kann mir jemand weiterhelfen?

(Das sind Folgen reeller Zahlen). Ich hätte vielleicht den Einschließungssatz verwendet, und zwar gibt es ein c€R, sodass:

 Dieses c ist also einfach eine Konstante. Wir wissen dass a_n gegen unendlich konvergiert, und wir wissen dass dass c gegen c (also eine Konstante) konvergiert, also konvergiert auch a_n + c gegen unendlich. Da b_n zwischen den beiden liegt, konvergiert nach dem Einschließungssatz auch b_n gegen unendlich. Das Problem ist nur, gibt es so ein c überhaupt?. Ich meine, wenn a_n einfach die Folge x wäre und b_n die Folge x², dann kann ich ein beliebiges c wählen, es gibt immer einen Punkt wo x² > x+c wird. Was könnte ich also stattdessen machen?

Moin Leute, blöde Frage ich weiss aber ich bin mir echt grad nicht sicher was iterativ genau bedeutet hat xD. Ich meine immer in der Schule gehört zu haben, dass iterativ das Gegenteil von rekursiv bedeutet (also explizit). Aber andererseits bedeutet iterativ auch so was ähnliches wie "mehrfaches Wiederholen", und jetzt bin ich mir etwas unsicher, was genau gemeint ist, hier meine Aufgabe:

In diesem Fall ist mit iterativ doch hoffentlich "rekursiv" gemeint, oder?