Offenheit, Abgeschlossenheit und Kompaktheit von Mengen in IR²?
Also so auf den ersten Blick würde ich sagen:
A ist offen und dementsprechend nicht kompakt
B ist abgeschlossen und kompakt
bei C bin ich mir noch nicht ganz sicher
D ist abgeschlossen, bei Kompaktheit bin ich mir nicht sicher.
Ist automatisch jede Menge, die abgeschlossen ist, kompakt?? Jetzt habe ich ein kleines Problem, diese Behauptungen auch zu zeigen.
Bei der a) dachte ich vielleicht, ich nehme einfach eine Folge die vollständig in A liegt aber gegen zb 0,0 konvergiert, was ja nicht Element aus (0,1)² ist. Aber wie genau kann ich eine solche Folge konstruieren? In 1d hätte ich einfach gesagt: Sei an = 1/(n+1), dann ist an€(0,1), aber der Grenzwert wäre 0, also außerhalb von (0,1). Jetzt würde ich das ganze gerne auf IR² übertragen, aber wie genau mache ich das? Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich das aufschreiben soll, kann mir da jemand ein kurzes Beispiel geben?
Bei der b) hätte ich einfach das Komplement von B (IR²\B) genommen und gezeigt, dass das offen ist, also analog zu a) eine Folge konstruiert die gegen etwas konvergiert, was nicht im Komplement liegt. Folglich muss B dann geschlossen sein, also alle Folgen in B konvergieren auch gegen etwas in B (sofern sie konvergent sind). Das ist einfach die Definition von Folgenkompaktheit, also ist B kompakt.
Wie gesagt, bei der c) muss ich noch nachdenken.
Bei der d) kann man das ganze doch genauso wie bei der b) machen? Hier hat mir aber ein Freund erzählt, dass das nicht kompakt sei... Ich weiss nur leider nicht wieso. Kann mir da jemand weiterhelfen?
2 Antworten
Zu a): Benutze doch einfach die Folge (1/(n+1), 1/(n+1)).
Nicht jede abgeschlossene Menge ist kompakt. Zum Beispiel IR² selbst ist abgeschlossen, aber nicht jede Folge in IR² besitzt eine konvergente Teilfolge. Z.B. die Folge a_n := (0, n) tut das nicht. Dies hilft dir eventuell bei Aufgabe (d).
Zu (b):
...und gezeigt, dass das offen ist, also analog zu a) eine Folge konstruiert die gegen etwas konvergiert, was nicht im Komplement liegt
Das entspricht nicht dem Begriff "offen". Denn sonst wäre auch das Intervall [0,1) offen, weil man darin eine Folge konstruieren kann, die gegen 1 konvergiert, was nicht im halboffenen Intervall liegt. Du kannst durchaus zeigen, dass IR²\B offen ist, aber dafür musst du etwas anders argumentieren ;) Die Abgeschlossenheit von B kannst du dann ausnutzen, um die Kompaktheit zu beweisen:
Eine Teilmenge im IR^n ist genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Mir ist jetzt erst aufgefallen, dass du auch auf Offenheit und Abgeschlossenheit prüfen sollst und nicht nur auf Kompaktheit...
Die Begründung für Offenheit bei a) ist genau wie bei der (b) nicht hinreichend. Wieso glaubst du, dass B offen ist?
Ups, hab da wohl ein "offen" zu viel reingeschmuggelt. Sollte eigentlich heißen "B ist abgeschlossen"
Kurze Frage, was meinst du mit "Die Begründung für Offenheit bei a) ist genau wie bei der (b) nicht hinreichend", also funktioniert diese Begründung bei der a nicht? :(
Das mit b) hätte ich einfach so gemacht: Ich nehme mir ein beliebiges Epsilon und mache dann ein Ball um den Punkt (1,1), dann zeige ich einfach dass es Elemente gibt die quasi außerhalb von B sind, somit sitze ich quasi am Rand und B ist abgeschlossen?
Das klingt für mich etwas wirr, um ehrlich zu sein. Kannst du mir eure Definitionen für offen und abgeschlossen nennen?
Sei (X,d) ein m.R., A c X.
A ist offen, wenn ∀x∈A ∃r>0: B_r(x) c A (also wenn es einen Ball gibt um x der in A ist)
A ist geschlossen, wenn eine konvergente Folge (x: IN -> X) x_n∈A gegen ein x*∈A konvergiert, also jede konvergente Folge muss in A konvergieren
Ok, irgendwie hab ich mit einer anderen Definition für Abgeschlossenheit gerechnet, aber die ist auch gut. Hier ist eine kleine Idee von mir:
Sei a_n = (x_n, y_n) eine konvergente Folge in IR² mit Grenzwert (x,y). Du musst zeigen, dass (x,y) ∈ [0,1]² gilt.
Wäre das nicht der Fall, so wäre x > 1 oder x < 0 oder y > 1 oder y < 0.
Nehmen wir einfach mal an, x < 0 (die anderen Fälle gehen analog). Die Idee ist, dass dann ab irgendeinem natürlichen n alle Folgenglieder in der ersten Komponente negativ werden müssen, was aber nicht geht, weil die Folge in [0,1]² liegt:
Sei 0 < ɛ < |x|. Dann gibt es per Definition eine natürliche Zahl N, sodass für alle n > N gilt:
ɛ > ||(x,y) - a_n|| = ||(x - x_n, y - y_n)||
= sqrt((x - x_n)² + (y - y_n)²)
>= sqrt((x - x_n)²)
= |x - x_n|.
Wäre x_n >= 0, so wäre aber |x - x_n| = x_n - x >= -x = |x| > ɛ, im Widerspruch zu obiger Ungleichung. Also muss x_n < 0 sein, im Widerspruch zu (x_n, y_n) ∈ [0,1]².
Also kann nicht x < 0 gelten.
Sei a_n = (x_n, y_n) eine konvergente Folge in IR²
Hier muss natürlich stehen: [...] eine konvergente Folge in [0,1]².
Zu a): Zu Fuß wär mir das zu kompliziert. Das kartesische Produkt von zwei offenen Mengen ist offen und das offene Intervall (0;1) ist offensichtlich offen.
Puuh, ja das klingt flotter, aber ich weiss nicht ob ich ich die Aussage "Kartesisches Produkt zweier offener Mengen ist offen" verwenden darf, haben wir glaube ich so noch nicht gezeigt
Ah, dann musst du dich wohl durch den längeren Weg quälen...
Aaaaaah dann wäre die D also nicht kompakt weil sie nicht beschränkt ist