Abbildungsmatrix bestimmen (einfach)?
Sorry wenn ich so oft nachfrage, ich verstehe es aber einfach nicht. Diese Aufgabe soll wohl sehr einfach sein, ich verstehe aber trotzdem nicht wie sie geht :(((
Ich hätte mir folgendes gedacht: Um die Abbildungsmatrix zu bestimmen, schau ich mir einfach die Bilder der Basisvektoren an. Leider verstehe ich nicht so ganz, was z denn jetzt sein soll. Einerseits wird z bei der Definition von IQ(3wurzel(5)) verwendet, andererseits ist das jetzt aber auch ein Element von IQ(3wurzel(5)). Das sind doch hoffentlich zwei unterschiedliche z, oder? Wenn z ein Element aus IQ(3wurzel(5)) ist, dann bedeutet das ja, dass z das hier ist:
α,β,γ€IQ. Danach wird aber erst IQ(3wurzel(5)) als Vektorraum über IQ gesehen, dann wird die Abbildung Tz Endomorphismus vom IQ-Vektorraum IQ(3wurzel(5)) definiert, und wenn das z so wäre, wie ich es gesagt habe, dann wäre es ein Skalar, also kann das mit dem z ja schonmal nicht hinhauen, weil z ja kein Element aus IQ ist somit kein Skalar sein kann. Ich checke einfach nicht, wie dieses z denn nun aussehen soll. Das x ist ein Element aus dem Vektorraum, also ist x ein Vektor, der somit wiefolgt aussieht:
Wenn x jetzt ein Basisvektor ist, dann wären zwei Unbekannte 0, die übriggebliebene wäre 1. Und was nun? Ich verstehe einfach nicht, wie so ein z aussieht und was dann in der Abbildung mit den x und z passiert, kann mir das jemand erklären, danke :(
1 Antwort
![](https://images.gutefrage.net/media/user/PhotonX/1444747801_nmmslarge.jpg?v=1444747801000)
Doch, du hast es schon richtig verstanden, z ist ein Element aus dem Unterring und es wirkt via Multiplikation auf x, ebenfalls ein Element aus dem Unterring.
Wähle doch ein allgemeines z und ein allgemeines x jeweils aus dem Unterring, multipliziere sie aus und schau, wie das Ergebnis aussieht. Interpretiere dann die Koeffizienten von 1, 5^(1/3) und 5^(2/3) als Vektorkomponenten und zwar sowohl im Ausgangselement x als auch im Bildelement z*x. Dann kannst du leicht die Abbildungsmatrix ablesen!
Der Vektor x sieht als Spaltenvektor übrigens so aus: (x1, x2, x3) und nicht (x1, x2*5^(1/3), x3*5^(2/3)). Die Basisvektoren stehen nicht im Spaktenvektor drin, sie werden durch die Spaltenvektor-Schreibweise impliziert.
In R^3 hättest du zum Beispiel (x1, x2, x3) = x1*e1 + x2*e2 + x3*e3 wobei e1 bis e3 die Standardbasisvektoren sind. Du siehst, e1 bis e3 stehen nicht im Spaltenvektor drin, nur die Komponenten x1 bis x3 tun es.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/PhotonX/1444747801_nmmslarge.jpg?v=1444747801000)
ooooooookay, das ist ja wirklich richtig simpel, ich glaube ich habe die Abbildungsmatrix gefunden, zumindest sieht es richtig aus. Vielen lieben Dank!