Was genau meinst du mit "Ich verstehe den Ansatz nicht."?
Es ist richtig, dass du, um zu zeigen, dass F eine Stammfunktion von f ist, ableiten musst. Dann siehst du ja, ob f als Ableitung rauskommt. Und ja, um die Fläche zu berechnen musst du integrieren. Der Flächeninhalt des 4x4-Quadrates ist 16m². Das Stück unterhalb des Quadrates im Intervall [0,4] bekommst du durch Integrieren von f über dieses Intervall. Das kleine Reststück im Quadranten links oben, bekommst du, indem du z.B. von der Ecke ganz links oben des Beckens eine vertikale Linie runterzeichnest, dann bekommst du ein Rechteck, das durch ein Teil des Beckens aufgeteilt ist. Den Flächeninhalt des rechtecks bestimmt man leicht und davon zieht man das integral von f in dem vom Rechteck vorgegebenen Intervall ab.