Zylinder?Maximale Masse?
Die Oberfläche eines zylinderförmiges Stäbchen soll 5 mm betragen. Wie müssen die Maße des Stäbchens beschaffen sein, wenn die Masse maximal sein soll?
Kann mir jemand bitte helfen?
5 Antworten
> Die Oberfläche eines zylinderförmiges Stäbchen soll 5 mm
Wenn, dann doch 5 mm², sonst kann kein vernünftiges Ergebnis rauskommen.
1) Stelle die Gleichung für die Oberfläche auf. Löse sie nach h auf.
2) Stelle die Gleichung fürs Volumen auf. Ersetze h durch den Ausdruck aus 1)
3) Berechne das Maximum von V in Abhängigkeit von r.
4) Berechne aus dem gefundenen r mit 1) die Höhe.
Naja, es gibt 2 Variabeln: den Radius r und die Höhe h.
Mit der Oberfläce hast du eine Gleichung gegeben.
nutz die ml um bspw. h durch r auszudrücken.
Und setze das in die Formel für die Masse ein (Masse ist Dichte mal Volumen. Dichte ist irgendeine unbekannte konstante, nenn sie von mir aus c. ist relativ unwichtig)
die masse hängt dann nur noch von r ab.
benutze das übliche vorgehen um das zu maximieren (also erste ableitung=0, 2 ableitung sollte <0 sein für maximum).
ist r gefunden, benutze die oberflächengleichung vom anfang um h zu finden..
Aufgabe gelöst :-)
(deleted)
Die Masse ist direkt vom Volumen abhängig.
Du musst pi r²h maximieren, unter der Nebenbedingung 2pi r²+2pi r h=5
Und Flächen drückt man in mm² aus, nicht in mm
Hallo pietrogrecor,
man hätte natürlich auch ,,maximales Volumen" sagen können, eine bestimmte Dichte ρ vorausgesetzt.
Die Maße eines Zylinders sind durch den quer-Radius r und die Höhe h gegeben.
Die Grundfläche ist die Kreisfläche πr². Die Mantelfläche ist Höhe mal Kreisumfang, also 2πrh.
Das Volumen ist Grundfläche mal Höhe, also
(1) V = πr²h,
die Oberfläche beträgt
(2.1) A = 2πr² + 2πrh.
Nun ist A gegeben (nämlich 5mm²), und h lässt sich durch A und r ausdrücken:
(2.2) h = (A – 2πr²)/2πr = (A/2πr) – r.
Damit wird (1) zu
(3) V(r) = πr²((A/2πr) – r) = Ar – πr³.
Für diese Funktion suchen wir ein Maximum, und wenn es eines gibt, ist das eine Nullstelle der ersten Ableitung
(4.1) V'(r) = A – 3πr²,
also muss
(4.2) r² = A/{3π}
(4.3) r = √{A/3π}
sein (r=–√{A/3π} ist mathematisch eine zweite Lösung, scheidet aber wegen r≥0 von vornherein als unphysikalisch aus).
Es ist auch wirklich ein Maximum, denn für
(5.1) r = √{A/3π} {–/+} ε
kommt
(5.2) V'(r) = A – 3π·(A/3π {–/+} 2ε√{A/3π} + ε²) = ±2ε√{A/3π} – ε²
heraus, wobei ε² nicht ins Gewicht fällt. Die Ableitung ist also vor r=√{A/3π} positiv und danach negativ, was man von einem Maxumum erwartet. Jetzt brauchst Du nur noch die richtigen Zahlenwerte einzusetzen.
Ich bin noch nicht ganz zuende. Interessant ist nämlich auch das Verhältnis zwischen r und h. Fa schreib' ich auch noch was drüber.
Von Interesse ist übrigens auch das Verhältnis zwischen r und h. Das entscheidet nämlich darüber, ob man den Zylinder ernsthaft ein Stäbchen nennen kann.
Dabei können wir natürlich h durch r ausdrücken:
h = q·r
Damit wird (1) zu
(1)' V = q·π·r³
und (2.1) zu
(2)' A = 2πr²(1 + q).
Die Intention ist, das Verhältnis V/A zu maximieren oder A/V zu minimieren, und zwar in Abhängigkeit von q.
???