Extremwertaufgabe - Dose - Zylinder?

Eine zylinderförmige offene Tonne (Volumen V) soll so hergestellt werden, dass möglichst wenig Material verbraucht wird, d.h. die Oberfläche S minimiert wird. In welchem Verhältnis müssen Durchmesser d und Höhe h stehen?

Bitte um Hilfe! Komme auf die Bedingungen, aber das ausrechnen am Ende macht mir Schwierigkeiten. Danke im voraus!

Answer 1

[ralphdieter]

Aus der Volumenformel hast Du h=V/πr². Also:

    S(r) = πr² + 2πr·V/πr² = πr²+2V/r  (r>0)

Gesucht sind die Minima von S:

    S'(r) = 2πr - 2V/r² = 0  ⇔  2πr³ = 2V  ⇔  r = ∛(V/π)

Du musst nur noch zeigen, dass

• bei diesem r wirklich ein Tiefpunkt vorliegt, und
• S woanders keinen noch kleineren Wert annimmt.

Am einfachsten geht das, indem Du S''(r)>0 für alle r>0 zeigst.