Zweidimensionales Kraftfeld Wege zwischen Vektoren berechnen?
hey ich war die letzten zwei Wochen krank und ich weiß leider nicht wie man diese Aufgabe löst. Andere konnten mir die leider auch nicht erklären. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schonmal im Voraus!
1 Antwort
Man schreibt den Wegvektor in Abhängigkeit von einem "Parameter"; wenn es hilft, setzt man den Weg auch aus zwei Teilwegen zusammen.
Dann drückt man die Größe, die integriert werden soll, durch den Parameter aus.
Zuletzt integriert man über den Parameter.
(Wenn ein Vektor herauskommen soll, integriert man sinnvollerweise komponentenweise.)
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differential der Arbeit:
dA = F_vektor • ds_vektor
a) direkter Weg:
x bleibt 0
y geht von -1 nach +1
Hier kann man einfach y als Parameter nehmen.
Das Wegdifferential ds_vektor ist hier (0; dy)
F_vektor ist (1/y) (1; 0)
dA = F_vektor • ds_vektor = (1/y) * (1 * 0 + 0 * dy) = 0
b) Halbkreis im Uhrzeigersinn (negative x-Werte)
Wir können den Winkel phi als Parameter nehmen. phi läuft z. B. von -90° bis +90° bzw. von -pi/2 bis +pi/2; dann ist
x = -cos(phi)
y = sin(phi)
Für ds brauchen wir einen Einheitsvektor entlang des Weges.
Das wäre der Radius-Vektor um 90° nach rechts gedreht.
e_s = (sin(phi); cos(phi))
ds_vektor = e_s * ds = e_s * r d_phi
(wobei r = 1 ist)
dA = F_vektor • ds_vektor = (1/sin(phi)) * (1 * sin(phi) + 0 * cos(phi)) * d_phi
Diesen Ausdruck integrieren über phi von -pi/2 bis pi/2
(hier muss phi im Bogenmaß genommen werden oder in Bogenmaß umgerechnet werden, damit ds die richtige Größe hat - der Umfang eines Kreises ist ja gerade 2 pi r)
c) Winkel phi aus demselben Bereich, aber anders herum gedreht, d. h. x-Werte bekommen anderes Vorzeichen
x = +cos(phi)
y = sin(phi)
e_s = (-sin(phi); cos(phi))
dA = F_vektor • ds_vektor = (1/sin(phi)) * (1 * (-sin(phi)) + 0 * cos(phi)) * d_phi
Diesen Ausdruck integrieren über phi von -pi/2 bis pi/2