Das Produkt zwei aufeinander folgenden Zahlen ist 240?
Wie kam man auf die +0,25??
6 Antworten
Sehr gute Frage. Das ist tatsächlich ein Trick, der nicht offensichtlich ist, der, wenn man ihn einmal kennt, die Mystik verflogen ist. Es gibt nur 2 Möglichkeiten, darauf zu kommen:
- man ist entweder sehr sehr gut in Mathe
- oder man hat den Trick einmal gesehen und wendet ihn einfach an
Nur so nebenbei: Als ich ihn das erste Mal gesehen habe, habe ich mit auch gefragt, warum zum Teufel macht man diesen Schritt.
Es handelt sich dabei um die sogenannte quadratische Ergänzung. Die Transferleistung besteht darin, die binomischen Regeln zu kennen und die aktuelle Gleichung auf die "Rückumformung" (also vor dem Ausmultiplizieren) vorzubereiten.
Ich empfehle dir einmal den Term (x+0,5)^2 auszumultiplizieren (1. binomische Regel). Da wird x^2 + 2*0,5x + 0,5^2 herauskommen.
Jetzt kommt der Knoten um Kopf: Wo kommt die 0,5 her?
Der allgemeine Term der ausmultiplizierten binomischen Regel ist dieser:
(a+b)^2 = ax^2+2bx + b^2
Deinem Term x^2 + x kann man auch wiefolgt schreiben: x^2 + 1x + 0.
Die 1 ist 2b, damit ist b=0,5 und die quadratische Ergänzung b^2=0,5^2=0,25.
Deine Gleichung:
x^2 + 1x + 0 = 240
Deine Gleichung vorbereitet auf Rückumformung nach 1. binomischen Regel:
x^2 + 1x + 0 + 0,25 = 240,25
Ich würde es so machen: x * (x+1) wobei x und x+1 gesucht sind. Das Produkt ist 240. Ausmultipliziert gäbe das X **2 + X = 240.Bei großen X ist X ** 2 dominant. Also rechne ich Wurzel aus 240, das ist 15,49.... Logischerweise ist das x einmal kleiner und x+1 größer als 15,49.... Als Lösung würde ich folglich 15 * 16 vorschlagen. Prüfung: 160+80 = 240. Passt. fertig. Und zwar ohne quadratische Ergänzungen und Schnickschnack. Das Wurzelziehen kann man sich auch noch sparen, denn man weiss: 15*15=225, 16*16=256. Das müssen also schon die beiden Zahlen sein, die 15 und die 16.
Naja
Du musst dir denken wie der Termin in der Klammer aussehen muss, damit da steht: x^2+x
Da (x+b)²=x²+2xb+b² ist setzt du für b =0.5 um 2*x*b=x zu erhalten
Jetzt musst du 0.5 Quadtieren und dann hast du deine 0.25
Grüße
Das Problem hättest Du mit der pq-Formel nicht:
x • (x+1) = 240
x² + x -240 = 0
x₁₂ = -0,5 ±√(0,5² + 240) = -0,5 ± 15,5
x₁ = 15
x₂ = -16
Du hast recht. Ich sehe bei Polynomen im Geiste meist die Lösungsvektoren, wobei dann ebenso im Geist die Indices wegfallen.
hier wurde quadratische Ergänzung gemacht.
(x+0,5)^2 = x^2+x+0,25
hier müsste als Lösungsmenge { -15; -16 } und auch {+15; +16 } angegeben werden.