Zusammenhang zwischen Integrierbarkeit, Stetigkeit und Differenzierbarkeit?
Das ganze in einem Intervall [a; b]. Ich blicke da nicht wirklich durch .
5 Antworten
Laienhaft:
Stetigkeit: Die Funktionswerte hängen alle zusammen, man kommt quasi von einem Punkt zum nächsten ohne dass man eine Strecke zwischen zwei Punkten zurücklegen muss. Die Funktion hat also kein Luftloch, keine Lücke, auch keine vertikale.
Differenzierbarkeit: Das bedeutet, dass die Funktion in ihrer Linienführung eindeutig approximierbar ist: Man kann also von zwei Punkten (a und b) in der Nähe eines Punktes (c) sagen, wo c in etwa ist. Du kannst anhand zweier Punkte z.B. links von dem Punkt c berechnen, wo in etwa c ist, weil die Punkte quasi in einem zueinander konsistenten Fluss sind.
Schönes Beispiel für stetig und nicht differenzierbar: https://de.wikipedia.org/wiki/Weierstra%C3%9F-Funktion
Integrierbarkeit: Das bedeutet nur, dass Du die Fläche berechnen kannst, quasi eine Umkehrung zur Ableitung, indem Du zu jedem Punkt auf der Linie eine Gerade malst von Punkt zur X-Achse (beispielsweise). Die Integrierbarkeit beschreibt jedoch meines Erachtens weniger die Funktion als solche, da auch nicht stetige Funktionen integriert werden können, sondern ist ein Rechenschritt mit einer Funktion als Teil für die Ergebnisberechnung. Integration ist auch ein Operator, also eine Berechnungslogik, unterscheidet sich daher von den Thematiken Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
Was Du hier als Differenzierbarkeit beschrieben hast, ist auch nur Stetigkeit. Für jene ist außerdem erforderlich, dass der Graph keinen Knick hat, also der Grenzwert der Steigung bei Annäherung von rechts und links derselbe ist.
Für die Ermittlung des Integrals zeichnen wir keine Gerade zur x-Achse, sondern Flächenstreifen, die wir dann schmaler werden lassen, sodass sie sich Strecken annähern.
Da kann man dir in der Kürze nicht helfen.
Alles drei sind Eigenschaften von Funktionen, die nur bedingt etwas miteinander zu tun haben.
Die schwächste Eigenschaft ist die Integrierbarkeit, d.h. das Integral über diese Funktion ist wohl definiert (fortgeschritten: es gibt mehrere Arten von Integrierbarkeit)
Eine stetige Funktion hat unschaulich ausgedrückt keine Sprünge.
Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen, endlichen Intervall ist integrierbar (in den üblichen Begriffen von Integrierbarkeit).
Eine differenzierbare Funktion hat - anschaulich ausgedrückt - an jeder Stelle eine Tangente.
Eine differenzierbare Funktion ist stetig und damit auf einem abgeschlossenen, endlichen Intervall integrierbar.
Zunächst die Antwort auf deine Frage. Stetigkeit und Differenzierbarkeit sind Punkt weise definiert; aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit. Rein anschaulich lässt sich eine diffeenzierbare Funktion durch ihre Tangente annähern; und Geraden sind stetig.
Der Begriff des ===> R(iemann)-Integrals ist eng geknüpft an ein kompaktes Intervall; jede auf einem kompakten Intervall stetige Funktion ist dort R-integrierbar; und es gilt der ===> Hauptsatz der Differenzial-und Integralrechnung ( HDI )
Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit und aus Stetigkeit folgt Integrierbarkeit, die Umkehrung gilt überall nicht.
differenzierbar => stetig => integrierbar