Zinseszinsen?

Ich hab eine Frage, und zwar bei der Aufgabe ,,Herr Heinen legt 8000€ zu 5% an. Nach wie vielen Jahren hat sich sein Guthaben verdoppelt?“ weiß ich zwar, dass es etwa 15 Jahre sind (≈16.631,43€), aber ich hab das einzeln ausgerechnet, also so: 8000•1.05^2, 8000• 1,05^3 usw. Und jetzt zu meiner Frage, gibt es einen Weg, wie man die Jahre direkt ausrechnen kann mit einer Rechnung, anstatt es einzeln zu machen?

Answer 1

[Halbrecht]

du hast probiert , dich der Lösung angenähert.

Weil die Unbekannte ,die Anzahl der Jahre ein Exponent ist , muss man logarithmen verwenden

.

8000*1.05^t = 16000

1.05^t = 2.........log

t*log(1.05) = log(2)

Beide logs sind Zahlen (>>> TR)

.

Verständnishinweis 

Weil 10^3 = 1000 ist 

ist der Log_10(1000) = 3 

.

Weil 2^5 = 32 ist 

ist der Log_2(32) = 5

.

Log_10(32) = 1.505

weil 10^(1.505) = 32 

Answer 2

[evtldocha]

Ja mit der Zinseszinsformel (allerdings muss man dazu den Logarithmus und seine Gesetze kennen)

$K_n=K_0\cdot\left(1+p\right)^n$ $K_n=2\cdot K_0$

Damit

$\left(1+p\right)^n=2\ \ \ \$ $1,05^{n\ }=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ln$ $\ln\left(1,05^n\right)=\ln\left(2\right)$ $n\cdot\ln\left(1,05\right)=\ln\left(2\right)\ \ \ \ \ |\ :\ n\left(1,05\right)$

$n=\frac{\ln\left(2\right)}{\ln\left(1,05\right)}\approx14,2$

Allgemein könnte man nun eine Formel aufstellen wie lange es dauert bei einer Anlage von K₀ und einenm Zinssatz p ein Zielkapital K zu erhalten:

$n=\frac{\ln\left(\frac{K}{K_0}\right)}{\ln\left(1+p\right)}$

Answer 3

[RobertLiebling]

Mit dem Logarithmus bist du im Handumdrehen am Ziel.

1,05^x = 2

x = ln(2) / ln(1,05) ≈ 14,21