zentrische Streckung flächeninhalt?
Hi hi liebe Leute, ich stehe leider etwas aufn schlauch bei der folgende Aufgabe:
- Zeige per geometrische Argumentation, dass sich bei der zentrischen Streckung der Flächeninhalt einer Figur k^2 facht.
Also ich verstehe die mathematische Aussage dennoch weiß ich nicht do ganz wie ich das aufzeichnen soll. Habt ihr vielleicht Ideen ?
Mfg
3 Antworten
Jedes Polynom lässt sich in Dreiecke zerlegen. Ein paar Formeln für den Flächeninhalt solltest du kennen. In allen Formeln tritt das Produkt zweier Strecken.
Der Rest ist Umsortieren eines Produkts.
Bei Kreisen geht es über Flächeninhalt proportional Radius zum Quadrat bzw. Durchmesser zum Quadrat.
Bei allgemeinen Flächen über Annäherung ("Approximation") der Figur durch Polygone.
(Übrigens ist der Exponent 2 in k^2 eine der Definitionen für "Dimension einer geometrischen Figur". Bei Körpern ist die Dimension 3 - hier geht das Produkt von drei Strecken in das Volumen ein.)
Angenommen du hast einen Würfel mit Seitenlänge 1cm und streckst den Würfel (alle Seiten) um den Faktor 2 (k), dann hast du einen Würfel mit Kantenlänge 2cm.
Bei Kantenlänge 1cm ist der Flächeninhalt 1cm².
Bei Kantenlänge 2cm ist er 4cm².
Bei 3cm ist er 9cm² = 1cm² * 3² = 4cm² * 1,5²
A,neu = A,alt * k², wobei k der Streckungsfaktor ist
Du müsstest es vielleicht nur irgendwie allgemein zeigen / beweisen, also nicht nur für Würfel.
Wenn du aus dem dem inneren einer Fläche heraus eine beliebige Fläche in Kuchenstücke zerteilst und diese Kuchenstücke infinitesimal klein machst, hat jedes Kuchenstück in hinreichender Näherung die Form eines gleichschenkligen Dreiecks.
Die fläche dieses dreiecks lässt sich aus der Höhe h=Wurzel(Schenkellänge^2 - 1/4*Basislänge^2) und der Basislänge zu A=1/2*h*Basislänge berechnen.
Wenn du das Dreieck vom Eckpunkt mit dem spitzen Winkel aus streckst, änderst du die Schenkellänge um den Faktor k, die Basislänge jedoch ebenso (Strahlensatz)
Daher ist A proportional zu (Wurzel(k^2) * k) also k^2.