Zeige die folgende Ungleichung bezüglich Log?
Wie zeige ich, dass die Ungleichung am Bild stimmt, ich hab jz Umformungen gemacht und bin auf y kleinergleich gekommen, was aber nicht zu zeigen ist oder?
2 Antworten
Hi,
hier kannst Du schreiben:
1/2 * log (xy) ≤ log [(x + y) /2] <=> (xy)^(1/2) ≤ (x + y) /2 <=>
<=> √(xy) ≤ (x + y) / 2 | *2
2√(xy) ≤ x + y | quadriere beide Seiten
4xy ≤ (x + y)²
4xy ≤ x² + 2xy + y² | -4xy
0 ≤ x² - 2xy + y²
0 ≤ (x - y)²
stimmt immer für alle reele positiven Zahlen (anonsten wäre ja Logarythmus nicht definiert) , wenn x = y haben wir
0 = x - y
LG,
Heni
Der Logarithmus ist eine konkave Funktion (die 2. Ableitung ist immer negativ.
Das bedeutet für x, y >= 0 und 0<=t<=1 gilt:
log(tx+(1-t)y)>=t*log(y)+(1-t)log(y)
Mit t=0.5 gilt also:
log(0.5x+0.5y)>=0.5log(x)+0.5(log(y)
Was der Ungleichung im Bild entspricht, wenn man noch ein wenig umformt.