e^x >= 1/ (1-x) für x<1?

Hallo, ich soll folgendes zeigen:

$e^x\le\frac{1}{1-x}$

für alle x<1

Bis jetzt habe ich folgenden Ansatz:

Es gilt mit der Bernoulli Ungleichung:

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n>\lim_{n\to\infty}1+x=1+x$

für alle x/n> -1 bzw. x> -1

und wenn ich jetzt für einsetze erhalte ich:

$e^{-x}>1-x$

$\frac{1}{e^{-x}}<\frac{1}{1-x}$

und da e^{-x} ja eben 1/e^x ist folgt

$e^x<\frac{1}{1-x}$

Aber in keinem meiner Schritte geht ein, dass x <1 sein muss.

Ist was bei mir falsch oder wie beweist man es anders?

Grüße

Answer 1

[Jangler13]

Du hast es im Grunde schon gemacht.

Du hast ja raus:

e^x>1+x für alle x >-1

Substituiere y=-x

Also ist y<1

Dann bekommst du e^-y>1-y

Und kannst es nun umstellen wie du es schon gemacht hast

Du hast halt diesen kleinen Zwischenschritt verschluckt

Comments

[Kurax15]

Achso, ich dachte es entsteht dann x < -1 aber du hast recht, das Vorzeichen wechselt ja mit

Dankeschön :)