Z-Transformation?
Kann mir jemand vielleicht den Rechenschritt bei der Rücktransformation erklären. Also von der Summe -z^(-zi) zum x[k] ?
2 Antworten
Wenn man sich die ersten paar Koeffizienten der Reihe anschaut,
1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, ....
dann sieht man, dass man diese über den cosinus wie angegeben darstellen kann.
Mit dem Epsilon kann ich nichts anfangen, was bedeutet das? Vielleicht übersehe ich da etwas, aber es scheint mir nicht erforderlich zu sein.
Ich will einmal anmerken, dass die Schreibweise der Z-Transformation sehr merkwürdig ist da sie aus irgend einen Grund nicht die Schreibweise der anderen Transformationen nutzt... Besonders geht die Lösung allgemeiner und die Spezifikation welche Z-Transformation gemeint ist fehlt, aber das bei Seite will ich dennoch helfen.
X(z) ist die Z-Transformation von x[k]. Es gilt:
X(z) = Summe[x[k] / z^k]
Inversion sollte möglich sein.
Du kannst aber auch gleich die Umkehrfunktion nutzen:
(a_{n} ist dein x[k] und F(z) ist X(z), wenn X analytisch ist und der Intgerationsweg ist geschlossen)
Aber nutzen wir die Summe.
Es gilt:
Summe[x[k] / z^k] = Summe[(-1)^k / z^(2k)]
Summe[x[k] / z^k] = Summe[(-1)^k / z^(2k)] + 0
Summe[x[k] / z^k] = Summe[(-1)^k / z^(2k)] + Summe[0 / z^(2k+1)]
Summe[x[k] / z^k] = Summe[(-1)^k / z^(2k)] + Summe[0 / z^(2k+1)]
Summe[x[k] / z^k] = Summe[a_k / z^k]
=> a_k = 0 wenn k ungerade ist und a_k = (-1)^k wenn k gerade ist
=> a_k = Cos[Pi/2 k] erfüllt die Bedingungen
=> Summe[x[k] / z^k] = Summe[Cos[Pi/2 k] / z^k]
=> x[k] = Cos[Pi/2 k]
