Wurzel aus 2 - Beweiss, dass nicht als Bruch darstellbar?

Hallo,

es ist vielleicht trivial, aber ich frage mich, wie man beweisen kann, dass die Wurzel aus 2 nicht als Bruch zu schreiben ist ?

Also inwiefern ist diese Gleichung unlogisch bzw. nicht lösbar?

(Ich würde verstehen wenn da rauskommt a = 2a oder 1=2 ... )

Answer 1

[Quotenbanane]

Der Beweis lässt sich so ausführen, dass du ohne Beschränkung der Allgemeinheit annimmst, dass a und b teilerfremd sind.

Also muss sich sqrt(2) als eindeutigen Bruch von zwei teilerfremden Zahlen darstellen lassen, der nicht mehr weiter vereinfacht werden kann. Das heißt auch, dass nicht beide Zahlen gerade sein können (sonst wären sie durch 2 teilbar und damit nicht teilerfremd)

Dann formst du gemäß den Ansätzen um, bis am Ende folgendes steht...

$2b^2=a^2$

Hier siehst du, dass a gerade sein muss.

Also lässt sich a in folgender Form darstellen...

$a\ =\ 2k$

(Die Schreibweise für eine gerade Zahl).

Damit steht in der Gleichung dann aber...

$2b^2=\left(2k\right)^{2\ }\Leftrightarrow\ 2b^2=4k^2\ \Leftrightarrow\ b^2=2k^2$

Hier siehst du, dass auch b gerade sein muss.

Daraus folgt, dass beide Zahlen gerade und damit nicht teilerfremd sind, was wir aber vorausgesetzt haben.

Und damit folgt der Widerspruch.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Answer 2

[gfntom]

Es geht darum, dass a und b als teilerfremd angenommen werden, sprich, dass es sich bei a/b um den vollsständig gekürzten Bruch handelt.

du hast nun:

2b² = a²

daraus folgt, dass a gerade sein muss, da nur das quadrat einer geraden Zahl durch 2 teilbar ist. du hast also a = 2u; a² = 4u²

2b² = 4u² -> b² = 2u²

Mit der gleichen Argumentation wie oben folgt, dass b gerade sein muss.

Wenn aber a und b gerade sind, so sind sie nicht teilerfremd, wie vorausgesetzt.

(Ich würde verstehen wenn da rauskommt a = 2a oder 1=2 ... )

a = 2a hätte die Lösung a = 0

Answer 3

[davebot]

Die idee dahinter ist glaub ich, dass 2b^2 =a^2 dasteht und a logischerweise (wegen der 2 vor dem b) den Faktor 2 beinhalten muss. Der würde dann quadriert werden und dann wäre auf der rechten seite einmal der Faktor 2 zu viel, weshalb das b dann auch den Faktor 2 besitzen muss.

das führt zu einem Widerspruch, da die Annahme schon war, dass a und b teilerfremd sind, also a/b schon vollends gekürzt ist

Gruß davebot

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ehemaliger Mathestudent & War schon immer ein Zahlenfreund

Comments

[FragerHH]

OK, Danke... aber kann man das auch ein eine Formel fassen....

[davebot]

@FragerHH

Wahrscheinlich durch Substitution.

Wenn du weißt, dass a den Faktor 2 beinhaltet, ersetzt du es durch a=2x oder so und analog danach b=2y