Wo steigt eine Funktion am stärksten/geringsten?
Hallo,
dass man den Wendepunkt berechnen muss, ist mir klar. Aber woher weiß ich, dass es der geringste/stärkste steigende Punkt ist? Hinreichende Bedingung?
6 Antworten
Du stellst die Wendepunkte fest und setzt die x-Werte derselben Stellen in die erste Ableitung ein. Diese ist für die Steigung zuständig. Wo du den höchsten Wert für die 1. Ableitung herausbekommst, ist die Stelle der stärksten Steigung.
Für den Winkel, wenn du ihn brauchst, bildest du tan^(-1), die bekannt falsche Darstellung für die Umkehrung des Tangens. Auf ordentlichen TR steht
arc tan.
Beim Extrema ist die Tangentensteigung f´(x)=0
Steigung f´(x)=m=0
maximale/minimale Steigung bei f´´(x)=0
siehe Bedingungen im Mathe-Formelbuch für Maximu /Minimum
Ob wirklich ein Wendepunkt vorliegt,kann man mit der Krümmung überprüfen
siehe Mathe-Formelbuch,Kapitel, Differentialgeometrie
Krümmung k=y´´/(1+y´)²)^3/2
von oben gesehen (auf die Kurve)
k<0 konvex (Rechtskrümmung)
k>0 konkav (Linkskrümmung)
Hinweis:Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen konkav/konvex
Bedeutet: bei y´´=f´´(xw) gibt es einen Vorzeichenwechsel
Zweckmäßig geht man immer systematisch vor.
1) ist die Funktion stetig und damit differentzierbar
2) Kurvendiskussion durchführen umd Extrema zu ermitteln
3) nachprüfen,ob ein Maximum/Minimum vorliegt
Ob nun überall beim Wendepunkt automatisch die maximale Steigung vorliegt,kann ich nicht sagen.
Aber beim "logistischen Wachstum" ist das der Fall
Formel für logistisches Wachstum (soll mehrere geben,haben aber alle fast den selben Verlauf)
f(x)=C/(1+a*e^(-b*x))
c=Sättigungsgrenze (maximaler Wert,der erreicht wird,wenn x→ unendlich
Wendepunkt bei
W(xw/(C/2)) hier ist die maximale Steigung im Wendepunkt
xw=ln(1/a)/(-b)
Nein, dort ist ein Extremum. Das kann ein Minimum oder ein Maximum sein.
Notwendige Bedingung für Wendepunkte bei einer Funktion f mit:
ist:
Eine mögliche hinreichende Bedingung lautet:
Oder eine die immer klappt -> Vorzeichenwechselkriterium
Wenn eine mögliche Wendestelle bei z.B. x = 0 liegt, so setzt man in f''(x) zwei Werte für x ein, nämlich ein Wert in diesem Fall kleiner und ein Wert größer 0.
Findet ein Vorzeichenwechsel um die mögliche Wendestelle (hier bei x = 0) statt, so liegt eine Wendestelle vor!
Am Wendepunkt ist dir Steigung also am stärksten? Wo ist si am geringsten?
Am geringsten? Na dort, wo eine Extremstelle ist, da gilt Steigung = 0 :D
In einem Wendepunkt steigt sie am stärksten, und in einem Extremwertpunkt (Minimum, Maximum) am geringsten.
maximale/minimale Steigung bei f´´(x)=0
Ist die Steigung im Wendepunkt nicht immer maximal? (zumindestens betragsweise)?