Ist die Steigung am Wendepunkt am stärksten/schwächsten?
Also, bei einer Aufgabe musste man berechnen, wo etwas am schwächsten steigt, und dazu musste man den Wendepunkt berechnen, welcher aber nicht der Sattelpunkt war. Ich dachte, am Wendepunkt wäre die Steigung am stärksten?
8 Antworten
bei Wendep. stärkste Stg wenn f ' ' ' < 0 bzw wenn bei WP Links-rechtskrümmung;
schwächste Stg wenn f ' ' ' > 0 bzw wenn bei WP Rechts-linkskrümmung.
Nicht jeder Wendepunkt ist ein Sattelpunkt, das ist richtig. Aber jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt. Das heißt, dass die Steigung - wenn ein Sattelpunkt vorhanden ist - an diesem auch am geringsten (nämlich 0) ist. Falls du noch Hoch-/Tiefpunkte hast, ist dort die Steigung übrigens ebenfalls 0. Das wären so die Stellen, nach denen man schauen sollte.
Heißt, der Betrag der Steigung ist an den Hoch-, Tief- und Sattelpunkten eines Graphen am geringsten, weil er dort 0 ist.
Hast Du einen Wendepunkt ermittelt, dann ist dort, verglichen mit der unmittelbaren Umgebung, der Betrag der Steigung entweder am Geringsten, nämlich 0 (=Sattelpunkt) oder der Betrag ist am größten (bei "normalen" Wendepunkten).
Richtung Sattelpunkt nimmt der Betrag der Steigung immer weiter ab (die Kurve wird flacher), um hinter dem Sattelpunkt wieder zu steigen.
Richtung normalem Wendepunkt steigt der Betrag der Steigung (die Kurve wird steiler); hinter diesem Wendepunkt nimmt dieser dann wieder ab.
Das heißt aber nicht, dass am Wendepunkt die höchste Steigung der gesamten Funktion ist; genausowenig wie am Hochpunkt der höchste Funktionswert der Funktion sein muss...
Die erste Ableitung gibt die Steigung an. Daher kann bei der Steigung = 0 ein Extremwert liegen. Dieses gilt nur, wenn die Funktion an der Stelle auch eine Krümmung aufweist. Also muss die Steigung der 1. Ableitung ungleich "0" sein. Die Steigung der 1. Ableitung ist die 2. Ableitung.
Hat die Funktion im Extermwert keine Krümmung, dann gibt es ja auch kein Extermwert, sondern ein besonderer Wendepunkt.
Zur besseren Vorstellung hat mir damals folgendes geholfen.
Eine Funktion beschreibt die zurückgelegte Wegstrecke [m]
- Ableitung entspricht der Geschwindigkeit [m/s]
- Ableitung entspricht der Beschleinigung [m/s²]
- Ableitung entspricht dem Ruck [m/s³]
Am Wendepunkt ist die Steigung entweder am geringsten [Minima; stark negativ] (bei fallendem Graphen) oder am größten (bei steigendem Graphen).
Und da muss der Wendepunkt kein Sattelpunkt sein, um die schwächste Steigung zu haben?