Wo existiert keine Tangente?
Hallöchen zusammen, da die Schule wieder los geht hier mal eine Mathe-Frage: Wie finde ich das rechnerisch heraus? LG
2 Antworten
Die Funktion f mit f ( x ) = | x^2 - 4 | ist an den Stellen x = - 2 und x = 2 nicht differenzierbar. Dementsprechend kannst du auch keine Tangentensteigung berechnen, denn du bräuchtest hierfür ja die Ableitung.
Ich habe meiner Antwort ein Bild beigefügt, welches den Graphen der Funktion darstellt. Versuche doch einfach mal in den Punkten (-2|0) und (2|0) eine Tangente an den Graphen zu legen. Das wird wohl nicht gehen.
Rechnerisch musst du das natürlich auch noch zeigen. Man zeigt, dass der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert nicht gleich sind.
Linksseitiger Grenzwert (wir nähern uns x = 2 von links):
lim{x gegen 2-}( [ f(x) - f(2) ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2-}( [ | x^2 - 4 | - | 2^2 - 4 | ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2-}( [ | x^2 - 4 | - | 0 | ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2-}( [ | x^2 - 4 | ] / [ x - 2] ) . Wenn x gegen 2 strebt und x < 2 gilt, dann ist x^2 - 4 < 0 und damit gilt | x^2 - 4 | = - ( x^2 - 4 ) = - ( x - 2 ) * ( x + 2). Folglich ist
lim{x gegen 2-}( [ | x^2 - 4 | ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2-}( [ - ( x - 2 ) * ( x + 2 ) ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2-}( - ( x + 2 ) ) = - 4.
Rechtsseitiger Grenzwert (wir nähern uns x = 2 von rechts):
lim{x gegen 2+}( [ f(x) - f(2) ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2+}( [ | x^2 - 4 | - | 2^2 - 4 | ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2+}( [ | x^2 - 4 | - | 0 | ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2+}( [ | x^2 - 4 | ] / [ x - 2] ) . Wenn x gegen 2 strebt und x > 2 gilt, dann ist x^2 - 4 > 0 und damit gilt | x^2 - 4 | = x^2 - 4 = ( x - 2 ) * ( x + 2). Folglich ist
lim{x gegen 2+}( [ | x^2 - 4 | ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2+}( [ ( x - 2 ) * ( x + 2 ) ] / [ x - 2] ) =
lim{x gegen 2+}( x + 2 ) = 4.
Da - 4 nicht 4 ist, stimmen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert nicht überein. Damit ist f an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar. Analog zeigt man das mit x = - 2.
Auch wenn es sich um eine Betragsfunktion handelt, so ist die Form doch eine Parabel im negativen und positiven x-Bereich (ab y=+0) und warum sollte es da Stellen geben,wo keine Tangente existiert? Oder übersehe ich was? Gib sie mal in den Rechner ein!
OK, dann ist es völlig klar. Ich hatte an den Punkten -2 und +2 einen Scheitelwert (Tiefpunkt) skizziert (hab keinen GFR).
Man betrachte das Bild, welches ich meiner Antwort beigefügt habe.