Wird ein Koerper mit der Abschussgeschwindigkeit v0 (in m/s) vom Boden lotrecht nach oben geschossen...?
Wird ein Koerper mit der Abschussgeschwindigkeit v0 (in m/s) vom Boden lotrecht nach oben geschossen, so ist seine Hoehe ( in m) nach t sekunden ungefaehr gegen s(t)=v0t-5t^2. Es sei v0=65 m/s Nach welche Zeit erreicht der Koeprer seine groesste hohe? wie gross ist diese Hohe?
2 Antworten
s(t) = v _ 0 * t - 5 * t ^ 2
Davon sollst du den Hochpunkt (Maximum) finden.
1..) 1-te, 2-te und 3-te Ableitung bilden -->
s´(t) = v _ 0 - 10 * t
s´´(t) = -10
s´´´(t) = 0
2.) Die Nullstellen der 1-ten Ableitung berechnen -->
s´(t) = v _ 0 - 10 * t
v _ 0 - 10 * t = 0
v _ 0 = 10 * t
t = v _ 0 / 10
Kann man auch schreiben als -->
t = (1 / 10) * v _ 0
3.) Die Nullstellen der 1-ten Ableitung in die Originalfunktion einsetzen -->
s(t) = v _ 0 * t - 5 * t ^ 2
s(v _ 0 / 10) = v _ 0 * (v _ 0 / 10) - 5 * (v _ 0 / 10) ^ 2
s(v _ 0 / 10) = (1 / 10) * (v _ 0) ^ 2 - (5 / 100) * (v _ 0) ^ 2
s(v _ 0 / 10) = (10 / 100) * (v _ 0) ^ 2 - (5 / 100) * (v _ 0) ^ 2
s(v _ 0 / 10) = (5 / 100) * (v _ 0) ^ 2
s(v _ 0 / 10) = (1 / 20) * (v _ 0) ^ 2
Man hat nun einen Punkt der der Hochpunkt sein könnte, ob er das tatsächlich ist müssen wir noch überprüfen.
Der Punkt lautet -->
((1 / 10) * v _ 0 | (1 / 20) * (v _ 0) ^ 2)
4.) Überprüfen ob der Punkt ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt ist.
Dazu setzen wir (1 / 10) * v _ 0 in die 2-te Ableitung ein.
s´´(t) = -10
s´´((1 / 10) * v _ 0 ) = -10
Da s´´((1 / 10) * v _ 0 ) < 0 ist, deshalb handelt es sich um den Punkt in 3.) um einen Hochpunkt (Maximum).
Wäre s´´((1 / 10) * v _ 0 ) > 0 gewesen, dann hätte es sich um einen Tiefpunkt (Minimum gehandelt).
Wäre s´´((1 / 10) * v _ 0 ) = 0 gewesen, und wäre gleichzeitig s´´´((1 / 10) * v _ 0 ) ≠ 0 gewesen, dann hätte es sich um einen Sattelpunkt gehandelt.
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Zusammenfassung / Fazit -->
Maximum im Punkt ((1 / 10) * v _ 0 | (1 / 20) * (v _ 0) ^ 2)
Nicht die Nullstellen, sondern die Nullstellen der 1-ten Ableitung, steht auch in meiner Antwort !
An den Nullstellen der 1-ten Ableitung können Extremwerte liegen, das ist deshalb so, weil sich dort das Krümmungsverhalten der Funktion ändert, weil dort ein Vorzeichenwechsel stattfinden kann, aber nicht muss.
Die restliche Erklärung findest du in meiner Antwort.
P.S -->
Jetzt für v _ 0 einfach nur noch den Zahlenwert für v _ 0 einsetzen.
Für v _ 0 = 65 wäre das -->
(6.5 | 211,25)
Nach 6.5 Sekunden erreicht der Körper eine Höhe von 211,25 Metern
.
Falls ihr das mit der Ableitung noch nicht gehabt habt:
Man kommt über die Formel für die Geschwindigkeit v(t) = v0 - g·t auch dahin, denn oben muss die Geschwindigkeit 0 sein!
Wenn ein Gegenstand hochgeworfen wird kommt er (bei Absehen von Reibungsverlusten) mit gleich großer, aber entgegengesetzter Geschwindigkeit an. In der "Mitte", oben, hat er die Geschwindigkeit 0,
warum die nullstellen?