Wir nennen 7-stellige Zahl Sonderzahl, wenn diese Zahl nicht in ein Produkt aus zwei 4-stellige Zahlen zerlegt werden kann.Frage?
Wir nennen 7-stellige Zahl Sonderzahl, wenn diese Zahl nicht in ein Produkt aus zwei 4-stellige Zahlen zerlegt werden kann.Was ist die größte Anzahl von Sonderzahlen in der Reihe.Wenn ich etwas falsch formuliert hab, fragen Sie mich gerne:)).
2 Antworten
Die Antworty von [Mikkey] ist nicht nur eine untere Einschätzung, sondern exakt. Dies folgt aus Lemmata 1+2.
Lemma 1. Es gibt eine Intervall der Länge 10³–1 von 7-stelligen Sonderzahlen.
Beweis. Sei 10⁶ < w < 10⁶+10³. Seien u, v 4-stellig. Dann gilt u,v ≥ 10³. Also u=v=10³, sodass uv=10³·10³=10⁶ < w, oder u>10³ oder v>10³, sodass uv>10³·(10³+1) =10⁶+10³ > w. In jedem Falle gilt uv ≠ w. Darum ist w eine Sonderzahl für alle w ∈ (10⁶; 10⁶+10³), welches ein Intervall der Länge 10³–1 bildet. QED.
Lemma 2. Es gibt kein Intervall der Länge > 10³–1 von 7-stelligen Sonderzahlen.
Beweis. Beachte, dass die Zahlen
10⁶=10³·10³,
10³·(10³+1),
10³·(10³+2),
·
·
·
10³·(10⁴ – 1)=10⁷–10³
alle keine Sonderzahlen sind. Intervalle bestehend aus Sonderzahlen dürfen diese also nicht enthalten. Deshalb müssen alle Intervalle, J, bestehend aus 7-stelligen Sonderzahlen
J ⊆ (10³k, 10³(k+1)) für ein 1≤k<10⁴–1
oder J ⊆ (10⁷–10³, 10⁷)
erfüllen. Diese Intervalle sind alle der Länge |J| ≤ 10³–1. Also gibt es kein Intervall der Länge > 10³–1 von 7-stelligen Sonderzahlen. QED.
Ohne das jetzt nachweisen zu können gehe ich davon aus, dass es maximal 999 Sonderzahlen in Folge gibt, nämlich die Zahlen zwischen 1000000 und 1001000.
Eigentlich nicht ganz. Diese Antwort habe ich bekommen. Ich habe hier nur gefragt, damit die Matheexperten diese Aufgabe schauen und ihre Meinung sagen.
Ich habe Danke gesagt, weil du diese Aufgabe geschaut hast und eine mögliche Lösung geschrieben hast.
Was ist die größte Anzahl von Sonderzahlen in der Reihe
Darauf hast Du eine Antwort bekommen, keine Meinung
Ob es noch eine andere Folge dieser Art gibt, kann ich nicht sagen, aber es gibt auf keinen Fall keine längere, da in 1000 aufeinanderfolgenden Zahlen immer eine durch 1000 teilbare enthalten ist.