Wieviele Messwerte werden für eine mathematische Mittelwertbildung benötigt?
Mir war so als ob es eine bestimmte Anzahl an Messwerten geben muss ehe man eine eine Aussage über einen Mittelwer treffen kann.
4 Antworten
Mindestens einen. Für die Standardabweichung mindestens 2 (da durch N-1 geteilt wird, wobei N die Anzahl der Werte ist). Willst Du mit einer Stichprobe eine Hypothese über den Mittelwert in einer Grundgesamtheit testen, dann kannst Du abhängig von der Standardabweichung - die Du in aller Regel auch nur aus der Stichprobe schätzen kannst - und von einer vorgegebenen Sicherheitswahrscheinlichkeit, meist nimmt man 95%, die nötige Stichprobengröße ausrechnen, falls Du zusätzlich noch Normalverteilung voraussetzt, was oft zumindest näherungsweise gegeben ist. Nimmst Du z.B. an, dein MW sei 150, die Standardabweichung (d.h. die durchschschnittliche Abweichung von diesem MW) sei 30, und du willst zu 95% sicher sein, dass dein Stichproben-MW nicht mehr als 10 vom Grundgesamtheits-MW abweicht, d.h. dein "Konfidenzintervall" geht von 140 bis 160 und hat damit die Breite 20, so muss N > oder = (2*1,96 * 30 / 20) zum Quadrat sein, also mindestens 35. Hierbei gehört 1,96 zu den 95%. Bei 99% wäre es 2,58, bei 90% 1,64. Dieses 95%-Konfidenzintervall bedeutet, dass von 100 möglichen Stichproben der Größe 35 aus einer Grundgesamtheit mit Mittelwert 150 und Std.Abw. 30 95 Stichproben einen MW zwischen 140 und 160 ergeben, 5 aber einen MW außerhalb - dein 5%-Pech wenn Du eine solche erwischst. Es ist klar, dass eine größere Sicherheit (99%) mit einer größeren Stichprobe erkauft werden muss (2 *2,58 * 30 / 20)^2 ergibt 60), und eine kleinere Stichprobe eine geringere Sicherheit ergibt (2 *1,64 * 30 / 20)^2 ergibt 25)
Danke für die Ergänzung, aber verwechsle nicht Standardabweichung und Standardfehler. In der Tat existiert in der Grundgesamtheit eine Standardabweichung, die mit Hilfe der Stichprobe geschätzt wird. Diese ist aber fest und ändert sich nicht mit der Größe der Stichprobe, denn sie ist eine Eigenschaft der Grundgesamtheit, sagt also einfach aus, wie stark unterschiedlich die Werte in der Grundgesamtheit sind. Der Standardfehler dagegen ist die Standardabweichung von Schätzungen des Mittelwertes, und diese Schätzungen schwanken umso geringer, je größer die einzelnen Stichproben sind, und diese Schwankungsbreite der Mittelwerte ist wie Du richtig schreibst proportional zu 100 * Wurzel(N) / N, oder einfacher zu 1 / Wurzel(N), in Zahlen bedeutet also 4-fache Stichprobengröße Halbierung der Schätz-Schwankungsbreite
1/wurzel N ist für die Poisson-Verteilung unabhängiger Ereignisse gültig. Das vergessen die Wahl-Statistiker oft. Ansonsten kann man mehrere Tests machen, die die Zuverlässigkeit einer Hypothese begründen. Dann gibt es für ein bestimmtes Konfidenz-Intervall, z.b. 3 sigma aus den Tabellen die zugehörigen Werte (Z.B. Geigy-Tabellen). Da ich das seit 20 Jahren nicht mehr mache, habe ich die genauen Zusammenhänge vergessen, die Tabellen liegen im Sperrmüll. Die Mathematik dahinter ist seit Gauss bekannt und in fast jedem Taschenrechner einprogrammiert, der mit ein wenig Wissenschaft ausgerüstet ist. Als Antwort erhält man ominöse Prozent-Werte, die die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit oder Falschheit einer Hypothese angeben. Aber bitte: GENAU nachsehen, was hier unter einer Hypothese zu verstehen ist, das ist in meinen Augen wichtiger als die Prozente. Hier ist die Wissenschaft gefordert, das muss jeder selbst mit sich ausmachen. Eine schlechte Hypothese liefert nämlich ebensolche oder sogar beste Ergebnisse, wie immer man sie haben will.
richtig. Eigentlich reicht schon ein Wert, das ist dann der Mittelwert. Bei zwei Werten entsteht bereits ein Sinn, bei mehreren ist der "Sinn" leicht zu fühlen. Ohne einen Wert wird der Mittelwert Quantenmechanisch relevant. Aber so war die Frage sicherlich nicht gemeint-
Wozu Mittelwert? Tut es nicht auch ein Median? Oder irgendein Wert mittels einer beliebigen Wichtungfunktion? Ich hatte auf die Poisson-Statistik hingewiesen, da diese für eine Rechnung "über den Daumen" mein ganzes Leben lang mich nicht enttäuscht hat.Es gibt keinen Zusammenhang zwischen Frage und Antwort. HaHa. Such sie doch selbst. Sorry ich bin gut drauf. Ich sehe den Zusammenhang und Sie tun mir leid.
Lesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Standardabweichung
Wenn du noch nicht in der Oberstufe bist, darfst du nochmal fragen.
Mindestenst zwei - aber je mehr Du hast, desto zuverlässiger ist Dein Wert.
ehe man hier mit Prozentzahlen jongliert, sollte man erst mal erklären, daß die wahrscheinliche Standardabweichung in Prozent sich errechnet aus 100 * Wurzel(N) / N . Das heißt die Abweichung ist umso kleiner, je größer die Anzahl N der Meßwerte ist. Die notwendige Anzahl Meßwerte ergibt sich also aus der gewünschten Genauigkeit des Mittelwerts.