Wieso ist ln(5) gleich -ln(0,2)?

Es ist bekannt, dass ln(5) die natürliche Logarithmusfunktion des Wertes 5 ist. Das bedeutet, dass ln(5) die Zahl ist, auf die e hoch erhöht werden muss, um den Wert 5 zu erhalten:

e^(ln(5)) = 5

Um zu zeigen, dass ln(5) gleich -ln(0,2) ist, können wir zunächst den natürlichen Logarithmus von 0,2 berechnen:

ln(0,2) = -ln(5)

Wir haben diese Gleichung erhalten, indem wir beide Seiten mit -1 multipliziert haben. Dies liegt daran, dass der natürliche Logarithmus von 0,2 der negativ reziproke Wert des natürlichen Logarithmus von 5 ist.

Somit ist ln(5) gleich -ln(0,2).

Deshalb (mit Logarithmus-Gesetz: ln(a/b) = ln (a) - ln(b) und ln(1) = 0)



e^ln(5) = 5
e^-ln(0,2) = 1/(e^ln(0,2)) = 1/0,2 = 5

Weitere Möglichkeit:

0,2 = 1/5 = 5^(-1)

ln 5^(-1) = -1* ln 5, denn ln a^b = b*ln a