Wieso ist eine 2x2 Matrix kein Tensor?
Was sind die Bedinungen, damit ein Matrix ein Tensor sein kann?
2 Antworten
Jede Matrix ist zugleich auch ein Tensor Typ 2.
Gibt es irgendwelche weiteren Informationen?
Der Begriff "Tensor" ist eine Erweiterung des Begriffs "Vektor". Man kann sagen, dass ein Vektor Skalare als Komponenten hat und ein Tensor Vektoren.
Ohne jetzt nähee auf verschiedene Ausformungen der Tensortheorie einzugehen - bei einem Spaltenvektor stehen die Komponenten untereinander. Wenn wir einen Spaltenvektor von Spaltenvektoren erzeugen, müssen wir die Skakarkomponenten untereinander schreiben. Bei einem Zeilenvektor von Zeilenvektoren nebeneinander.
Nur, wenn wir einen Zeilenvektor von Spaltenvektoren oder einen Spaltenvektor von Zeilenvektoren haben, können wir den Tensor als Matrix darstellen.
Allerdings können wir eine 2×2-Matrix natürlich als Tensor über einem zweidimensionalen Raum auffassen.
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Die Unterscheidung zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren spielt in cartesischen Koordinaten keine Rolle, bei "schrägen" und/oder Nichteinheits-Vektoren als Basisvektoren sehr wohl. Die Entsprechung von Skalarprodukten kann man nur über einen Zeilenindex und einen Spaltenindex (in der Reihenfolge) bilden.
Übrigens nennt man Skalare auch Tensoren 0. Stufe, die üblichen Vektoren Tensoren 1. Stufe, die üblichen Tensoren Tensoren 2. Stufe, Vektoren mit Tensoren 2. Stufe als Komponenten Tensoren 3. Stufe usw.
Eine 2×2-Matrix ist also genau dann ein Tensor, wenn man vereinbart, sie als solchen zu behandeln. (Wenn man verschiedene Basen hat, insbesondere in Bezug auf die Basistransformationen.)