Diagonalisierbarkeit einer 2x2-Matrix?
Hallo,
Zu (2) fehlt mir irgendwie ein Ansatz. Ich muss doch nicht etwa die ganze Rechnung nur mit Variablen durchführen, oder doch? Gibt es eine Art "Diagonalisierbarkeits-Kriterium", d.h. bestimmte Eigenschaften, die mir die Diagonalisierbarkeit schenken, ohne, dass ich die diagonalisierte Matrix explizit angeben muss?
1 Antwort
Es gibt verschiedene Sätze die eine Äquivalenz zur Diagonalisierbarkeit bringen.
Was du zeigen kannst ist:
Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren und die algebraische ist gleich der geometrischen Vielfachheit.
Da du bereits die beiden (einzigen) Eigenwerte kennst, weißt du dass die algebraische Vielfachheit von lambda_1 und lambda_2 =1 ist. Da die algebraische Vielfachheit immer größer gleich der geometrischen ist (und die geometrische logischerweise >=1) folgt damit dass beide Vielfachheiten gleich sind.
Also ist A diagonalisierbar.
Falls ihr diese oder andere Äquivalenzen nicht hattet, solltest du die Diagonalform "per Hand" bestimmen, auch wenn es mühselig erscheint. (bei ner 2x2 Matrix geht das ja noch)
Grüße