Unterschied Tensor und Matrix?
Hallöchen,
wie man am Titel schon sieht, habe ich mich gefragt, was der Grund ist, weswegen man eine eigene Definition für den "Tensor" als mathematisches Objekt eingeführt hat. Immerhin ist der Tensor in der 0.-Stufe ja ein Skalar, in der 1.-Stufe ein Vektor und in der 2.-Stufe eine Matrix. Es gibt ja auch noch höhere Stufen, aber wieso gibt es dann einen Tensor 2.-Stufe, wenn man auch einfach "Matrix" dazu sagen kann.
Ich weiß, dass der Definition eines Tensors auch einer gewissen Transformationseigenschaft zugrunde liegt. Ist aber diese Transformation nicht auf jeden Vektor/Matrix anwendbar? Was wären denn dann Beispiele von Vektoren/Matrizen, die kein Tensor sind?
Ich hoffe das alles ist verständlich :) Vielen Dank schonmal!
1 Antwort
Am besten versteht man es meiner Meinung nach, wenn man es sich wirklich im Zusammenhang mit realen physischen Objekten vorstellt. Stell dir einfach einen 3-dimensionalen starren Körper vor. Dieser Körper hat nun je nach Rotationsachse ein Trägheitsmoment. Da es verschiedene Drehachsen gibt muss es auch mehrere Trägheitsmomente geben, welche du alle im Trägheitstensor (hier wird das Trägheitsmoment für alle möglichen Drehachsen abgebildet) vereinen kannst.
Dieser Trägheitstensor liegt in Form einer Matrix vor. Wenn du nun aber rechnen willst musst du ja ein Koordinatensystem reinlegen, also mit x, y und z-Achse.
Du könntest nun das gesamte System rotieren (also das Koordinatensystem und auch das physische Objekt). Wenn du das machst musst du natürlich auch die Matrix transformieren, da jetzt z.B. die neue x-Achse die alte z-Achse gewesen sein könnte usw.
Rotierst du aber nur das Koordinatensystem und lässt den Körper dabei unverändert (du kannst ja dein Koordinatensystem beliebig in einen Kreisel legen, meist wählst du z.B. die Rotationsachse als die z-Achse), so ändert sich ja natürlich nichts an der eigentlich Physik und dem Geschehen, da das Koordinatensystem ja nur imaginär existiert. Damit die Physik nun die gleiche bleibt muss sich die Matrix unter Transformation des Koordinatensystems speziell transformieren, so dass es eben gewisse Invarianten der Matrix (quasi die eigentlich unveränderte Physik des Körpers) geben muss.
Daher ist ein Tensor eine Matrix, welche ein spezielles Transformationsverhalten unter Rotation des Koordinatensystems zeigt. Eben ein solches Verhalten, so dass die eigentliche Physik unangetastet bleibt.