Wieso gilt nicht der Betrag einer Klammer?
Wenn ich folgende Gleichung radiziere, ist nur die eine Seite (16) „plus, minus“:
16= (x+5)^2 | radizieren
<=> 4= x+5 v -4= x+5
Damit meine ich, wieso die Wurzel aus (x+5)^2 nur x+5 ergibt und nicht -(x+5).
5 Antworten
Eigentlich ist das ja so nur durch radizieren keine korrekte Umformung. Als Lösung zu sqrt(16) gibt es nur 4. -4 ist schlicht falsch.
Was aber stimmt ist, dass die Wurzel von (x+5)², eigentlich |x+5| ist.
Nun hast du nur eine Gleichung und zwar 4 = |x+5|.
Das heißt logisch umgeformt (4 = x+5) v (4 = -(x+5))
Also x = -1 oder x = -9.
Was du sagst ist also, wenn man etwas weiter denkt, richtig. Die Wurzel aus (x+5)² ist, wo sich die Wege scheiden, nicht die Wurzel von 16.
Am Ende ist es dann doch oft einfach so geschrieben, wie du es hast, weil man sich so extra Schreibarbeit spart. Schließlich kann man (4 = x+5) v (4 = -(x+5)) auch wieder umformen zu (4 = x+5) v (-4 = x+5)
Tatsächlich wäre es eigentlich korrekt zu schreiben (lhs=left hand side, rhs=right hand side):
+lhs=+rhs
+lhs=-rhs
-lhs=+rhs
-lhs=-lhs
Aber 1. und 4. Fall sind äquivalent, genauso 2. und 3. Fall. Wichtig ist nur, ob rechts und links verschiedene Vorzeichen stehen oder nicht. Es reicht also das Vorzeichenpärchen "plus/minus" auf eine der beiden Seiten zu schreiben.
Korrekt ist es so, dass Wurzel(x²) = |x| ist (und nicht einfach x)
In dem Fall also 4 = |x+5|
Und so kommst du auch auf 2 Lösungen für x.
wozu sollte dies dienen?
dann stünde da bspw.
-4=-(x+5)
was das gleiche ist wie 4=x+5.
sowie 4=-(x+5) was das selbe ist wie
-4=x+5
insofern ist wenn du links das +- machst, alle fälle abgedeckt
aber das zweite ist genau "-(x+5)" da links "-4" steht
Es ist quasi nur mit "-1" multipliziert