Zeigen Sie, dass für die absolute Kondition der Auswerting der Funktion?
Seien g,f : R → R gegebene Funktionen und sei h := g + f . Zeigen Sie, dass für die absolute Kondition der Auswerting der Funktion h in einem Punkt x ∈ R die Abschätzung κ abs ( h,x ) ≤ κ abs ( f,x ) + κ abs ( g,x) gilt
1 Antwort
Die Absolute Kondition bei x mittels:
|f(x + h) - f(x)| = |f´(x)*h + O(h²)|
Approximation erster Ordnung:
= |f´(x)|*|h|
Und damit folgt diese zu:
k(f,x) = |f´(x)| gültig nur für |h| hinreichend klein
Sei nun h(x) = g(x) + f(x) gegeben, es folgt:
k(h,x) = |h´(x)| = |f´(x) + g´(x)| <= |f´(x)| + |g´(x)| = k(f,x) + k(g,x)
Somit folgt dann also die gesuchte Relation:
k( f + g , x ) <= k( g , x ) + k( f , x )
Btw:
Das gilt: | x + y | <= |x| + |y|
folgt aus der sogennanten Dreiecksungleichung des Betrages.
sorry wenn ich nerve aber habe noch eine Frage damit ich verstehe, gibt es noch ein x für das die Abschätzung aus (Aufgabe) nicht scharf ist.?