Wie wandle ich die faktorisierte Form in die Scheitelpunktform um?
Ich übe gerade für eine Mathearbeit und verstehe das nicht ganz. Kann mir das jemand bitte ausführlich und mit einem leicht zu verstehendem Beispiel erklären?? Danke schonmal im Vorraus!! =)) ich bin übrigens in der 9. Klasse! :)
4 Antworten
Man hat eine Gleichung in faktorisierter Form gegeben, etwa
y = 2x² + 8x + 28.
- Schritt 1: Den Vorfaktor von x² ausklammern:
y = 2 * (x² + 4x + 14).
- Schritt 2: In der Klammer quadratisch ergänzen:
y = 2 * ((x² + 4x + 2²) - 2² + 14)
= 2 * ((x² + 4x + 2²) + 10)
- Schritt 3: Die binomische Formel anwenden:
y = 2 * ((x + 2)² + 10)
- Schritt 4: Den Teil außerhalb des Quadrates mit dem Distributivgesetz wieder aus der Klammer holen...
y = 2(x + 2)² + 20.
Genau genommen muss man bei Schritt 1 das Absolutglied gar nicht mit in die Klammer reinholen, allerdings muss man im Allgemeinen ohnehin später etwas ausmultiplizieren.
Ups, das war nicht die faktorisierte Form :D Aber man kann die faktorisierte Form ja einfach in Normalform bringen, indem man sie ausmultipliziert...
Die faktorisierte Form lautet
a(x-x₀₁)(x-x₀₂)
Wir wissen jetzt schon, dass der Scheitelpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen liegt, also bei xs = ½ (x₀₂ + x₀₁). Wir kennen aber noch nicht die y-Verschiebung, deswegen sind wir noch nicht fertig.
Die SP-Form lautet:
a(x-xs) + ys
a(x-x₀₁)(x-x₀₂) | ausmultiplizieren
⇔ a(x² - (x₀₁ + x₀₂)x + x₀₁x₀₂) | xs kennen wir schon -> einsetzen | dann quadr. Ergänzung
⇔ a[(x - xs)² + xs² + x₀₁x₀₂] | y-Abschnitt herausziehen
⇔ a(x - xs)² + a(xs² + x₀₁x₀₂)
Ich hoffe, mir ist kein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Ich rechne es gleich nochmal nach.
Vielleicht hilft dir aber schon einmal der Ansatz.
Ja, soweit in Ordnung. Nur muss die quadr. Ergänzung hinter der Klammer abgezogen werden, weil die Quadratur in der binomischen Formel positiv ausfällt:
⇔ a[(x - xs)² - (xs)² + x₀₁x₀₂] | y-Abschnitt herausziehen
⇔ a(x - xs)² + a(-(xs)² + x₀₁x₀₂)
Okay Leute, wenn ich das jetzt richtig verstanden hab muss man also ausmultiplizieren?? Oder muss man die quadratische Ergänzung anwenden?!
http://www.gutefrage.net/video/scheitelform-scheitelpunkt-finden-bei-parabeln ; und zuerst Klammern lösen und in Normalf. bringen.