Wie viele Kilometer weit leuchtet die Sonne?

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sie leuchtet unendlich weit; die frage ist daher nur, ob ein mensch (oder ggf. ein alien) sie auch ohne hilfsmittel (fernglas, teleskop usw) mit bloßem auge aus der entfernung noch wahrnehmen kann.

also sucht man am himmel sterne der gleichen klasse (g-klasse, gelber zwergstern) und misst ihre helligkeit in "mag". bei optimalen bedingungen könnte so eine direkte sichtbarkeit von ca. 50 lichtjahren herauskommen.

mit teleskopen deutlich weiter, am ende nur abhängig von der größe des teleskops und den umgebungsbedingungen; optimal z.b. mit hubble oder dem JWST

Woher ich das weiß:Hobby

Man könnte die Sonne bis zu einer Entfernung von gut 50 Lichtjahren gerade noch als Stern am Nachthimmel sehen, wobei es natürlich auf die Sichtbedingungen und die Sehkraft des Beobachters ankäme. Man kann das auch grob berechnen. Ansonsten sind 1 Lichtjahr rund 9,46 Billionen Kilometer, dann kannst du den Wert ausrechen, um deine Kilometerangabe zu erhalten.

Ich finde die unterschiedlichen Betrachtungsansätze in den Antworten sehr interessant.
Es wird da differenziert zwischen der Ausleuchtung, die die Sonne in größerer Entfernung noch bringen würde. Oder anders gefragt, was könnte ein Mensch auf einem entfernten Planeten mit dem einfallenden Sonnenlicht noch erkennen. Das ist bestimmt sehr unterschiedlich. Ein nachtblinder Mensch empfände es vielleicht als stockdunkel, während ein nachtgeübtes Auge vielleicht noch eine Menge Strukturen erkennen könnte.
Die andere Interpretation der Leuchtkraft ist Frage, wie weit entfernt man das Licht der Sonne noch wahrnehmen könnte. Das ist auch eine Frage der Bedingungen. In einem Großstadtsmog (z.B. in Kairo) sieht man die Sonne an manchen Tagen nicht mal mittags, obwohl natürlich das Licht noch größtenteils ankommt. Weltraumteleskope außerhalb der Atmophäre können mit entsprechender riesiger Auflösungstechnik sehr weit im Welraum noch Objekte von der Größe der Sonne erkennen. Die bereits erwähnte Formel, dass die Lichtintensität umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung abnimmt, bedeutet, dass sie nie null wird. Aber eventuell sind die einzelnen Lichtquanten in Richtung Betrachter dann so weit gestreut, dass er 'im toten Winkel' dazwischen beobachtet und keinen kontinuierlichen Strom an Lichtquanten mehr abbekommt. Dann ist auch nichts mehr zu 'sehen'. Dann werden aus Lichtjahren (ich zitiere einen Begriff, den Bernd das Brot verwendet hat) Dunkeljahre. ;-)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Nehmen wir an die Sonne ist weg. Kein anderer Stern würde uns genügend beleuchten, sagen wir mal, um nicht über irgendwas zu stolpern. Also fällt schonmal über 4 Lichtjahre raus. Der Mars ist hell. Die grossen Gasplaneten strahlen gewaltig licht zurpck, sonst könnten wir sie ja nicht sehen. Also neptun ist 4,5 Mrd km entfernt. Ich denke, wäre es ein begehbarer Planet, wöre es wohl wie auf der Erde nach Sonnenuntergang. Pluto wohl ähnlich bei 6Mrd. Eris ist fast doppelt so weit entfernt wie Pluto. Der ist ha auch von der Erde aus mit Teleskopen zu sehen, also wird er noch beleuchtet. Jetzt sind wir bei 10 mrd und es ist nicht Zappenduster. Natprlich kommt es auch auf die Oberfläche an. Schwarz oder weis ist ein erheblicher unterschied. Wir sind jetzt also zwischen 10 Mrd und 40 Billionen km. Ab hier wirds wohl spekulativ.

Die Entfernung, bei der "die Sonne die Erde nicht mehr beleuchten könnte und es somit stockdunkel wäre" kann es nur in der Fantasie geben.

Mit zunehmender Entfernung von einer Lichtquelle wird einfach die sinnliche Wahrnehmung oder die instrumentelle Messung schwieriger. Da gibt es keine Begrenzung außer der Wahrnehmungsempfindlichkeit des Auges oder der Messempfindlichkeit des Instrumentes.

Was Du als "stockdunkel" empfindest, ist nichts anderes als die Unterschreitung Deiner Wahrnehmungsschwelle. Das gehört zu den individuellen Eigenschaften von Augen und Gehirn.

Du kannst auch mittels Teleskop die Auflösung Deines Gesichtsfeldes ggfs. so weit vergrößern, dass Du das Sonnenlicht aus einer fernen Galaxie wahrnimmst.