Wie sieht ein 4-dimensionales Koordinatensystem aus?
Da mann ein 3-dimensionales Koordinatensystem auch 2-dimensional darstellen kann, frage ich mich, wie man ein 4-dimensionales darstellt, es müsste ja 4 Koordinatenachsen haben, oder?
12 Antworten
Es ist eigentlich ganz leicht.
Wie sieht denn unsere normales 3-D-Koordinatensystem aus? Alle 3 Achsen stehen zueinander in einem Winkel von 90°. Bei einem vierdimensionalen Koordinatensystem musst Du demzufolge nur eine weitere Achse einfügen, die im Winkel von 90° zu den drei anderen Achsen steht.
Jetzt hast Du ein Problem! Dein Gehirn ist auf eine dreidimensionale Welt ausgelegt. Unser ganzes Sein spielt sich in drei Dimensionen ab. Die von Einstein postulierte Raumzeit mit vier Dimensionen (wenn ich die Zeit einschließe) nehmen wir anders wahr. Zeit ist für uns keine Dimension sondern eine Wahrnehmung von aufeinanderfolgenden Ereignissen. Wir bewegen uns dabei nahe der Lichtgeschwindigkeit (nur ein paar km/s weniger) durch diese vierte Dimension, die Zeit. Die Richtung können wir nicht beeinflussen, sondern nur ein wenig die Geschwindigkeit mit der die Zeit vergeht, indem wir uns relativ zu anderen schneller Bewegen und damit unsere Geschwindigkeit von der Zeitachse auf die Orts-Achsen "umlenken".
Wie nun aber ein System mit vier Raumachsen aussieht, können wir uns nicht vorstellen. Dazu ist unser 3D-Hirn nicht in der Lage. Wenn Du wissen willst, wie die zweidimensionale Abbildung eines vierdimensionalen Würfels aussieht, dann such einfach bei Google nach Hyperwürfel oder Teserakt.
Gibt es sonst noch eine Möglichkeit soetwas vorzustellen? Mit einer 4D-Kugel geht es. Stell dir eine zweidimensionale Welt vor (also eine Art Blatt Papier) durch die eine 3D-Kugel fällt. Wie würde man sie in einer 2D-Welt wahrnehmen? Aus dem Nichts entsteht aus einem Punkt eine Scheibe oder ein Kreis, der zunehmend Größer wird. Irgendwann stoppt die Zunahme der Größe und er wird wieder kleiner bis er wieder verschwindet. Fällt nun eine 4D-Kugel durch unsere 3D-Welt, so wirkt sich das ähnlich aus. Aus dem nichts wächst aus einem unendlich kleinen Punkt eine Kugel heran, dehnt sich immer weiter aus. Irgendwann wird es langsamer und die Kugel wird wieder kleiner bis sie irgendwann wieder verschwindet. ;-)
So ganz logisch klingt das natürlich alles nicht, aber wie gesagt: Unser Gehirn ist für drei Dimensionen ausgelegt. Nicht für vier. Vier Dimensionen können wir uns am besten nur mathematisch vorstellen.
Die Idee mit dem Blatt Papier gefällt mir gut. :) Richtig lustig wird's aber erst, wenn man annimmt, dass wir in einer vierdimensionalen Welt leben ( mit der Zeit als 4. Dimension) . Dann ist eine zweidimensionale Welt in der es Zeit gibt eigentlich eine dreidimensionale Welt . Kann man sich gut als Daumenkino vorstellen.Gucken wir mal von oben auf ein Daumenkino mit 50 Seiten. Es ist so hoch und breit wie die einzelnen Bilder Groß sind, bis jetzt ist es Nur eine zweidimensionale Welt da es noch keine Abfolge von Ereignissen gibt, jetzt geht es aber in die Tiefe: das sind die 50 Seiten die übereinander gestapelt sind, also ist es eine dreidimensionale Welt mit zweidimensionalen Objekten :-) um jetzt ein dreidimensionales Objekt ( aus unserer vierdimensionalen Welt ) in diese dreidimensionale Welt einbringen z.B. eine kugel müsste man in jede der 50 Seite ein Loch schneiden sodass man die Kugel hineinlegen kann. Und wenn man dann durch die Seiten Blätter sind wir wieder bei deiner guten Idee :-) Da ganze muss man dann halt noch in unsere Welt übertragen aber so lässt es sich gut vorstellen
Selten so einen Quatsch gelesen.
Bei einem vierdimensionalen Koordinatensystem musst Du demzufolge nur eine weitere Achse einfügen, die im Winkel von 90° zu den drei anderen Achsen steht.
So einfach ist das leider nicht. Der Anschauungsraum lässt nur die Konstruktion von drei aufeinander senkrechten Linien zu, die sich in einem Punkt schneiden. Dies ergibt unser Koordinatensystem, welches die Konstruktion von Körpern zulässt, dazu mit sechs Freiheitsgraden. Eine "vierte" Gerade ist nichts weiter als eine weitere Gerade in der Parallelprojektion des Koordinatensystems. Selbst die Konstruktion eines Hyperwürfels ist letztlich nur eine Parallelprojektion, folglich dreidimensional und nicht wirklich vierdimensional. Der Anschauungsraum lässt nur die Konstruktion ein- bis dreidimensionaler Gebilde zu, nicht mehr und nicht weniger.
Dein Gehirn ist auf eine dreidimensionale Welt ausgelegt. Unser ganzes Sein spielt sich in drei Dimensionen ab.
Das ist fast richtig. Warum hier aber richtig und oben falsch? Das erschließt sich mir nicht. Richtig ist, dass Raum und Zeit reine Anschauungsformen des Ichs sind. Der Raum ist Form in Relation zur Materie und insofern (Kant) also: "Form der Anschauung" und organisch in Relation zur Sinnlichkeit und (Kant) insofern auch "Gegenstand der reinen Anschauung".
Falsch ist dagegen wieder folgendes: Eine "dreidimensionale Welt" gibt es nicht, ebensowenig wie einen "dreidimensionalen Raum". Es wäre schön, wenn man die Begriffe nicht dialektisch verwischen würde, wie man es heute so oft macht. In Wahrheit gibt es nur ein Axiom, welches folgendes besagt: Dass in einem Punkt nur drei aufeinander senkrecht stehende Linien möglich sind. Gebilde haben eine Dimension, nicht aber der Raum. Der Raum bleibt immer noch der gleiche Raum, der gleiche Anschauungsraum, den Euklid und wir vorfanden und auch noch heute vorfinden.
Die Dimensionalität ist also keine Eigenschaft des Raumes und ebensowenig sind Begriffe wie "gerade" und "kumm" Eigenschaften des Raumes. Der Anschauungsraum lässt die Möglichkeit zu gerade und krumme Linien zu konstruieren, aber gewiss lässt deshalb nicht darauf schließen, dass unser Raum deshalb "krumm" oder "gerade" ist. Figuren können vom Raum abgeleitet, aber niemals der Raum von Figuren abgeleitet werden. Geometrische Gebilde haben also eine Dimension, nicht der Raum. Daher sprechen wir nur vom Raum, von den in ihm auftretenden Gebilde als ein-, zwei- oder dreidimensionale Gebilde.
Wie nun aber ein System mit vier Raumachsen aussieht, können wir uns nicht vorstellen.
Was hier aber wieder dialektisch verwischt wird ist folgendes: Gibt es überhaupt einen solchen "Raum" ? Wenn wir eben annehmen würden, dass der vierdimensionale Raum eine "logische" Möglichkeit wäre, machen wir schon einen Fehler. Denn wir beschäftigen uns hier mit bloßen Begriffen, die losgelöst sind von der Anschauung (denn der Anschauungsraum lässt, wie gesagt, nur maximal die Konstruktion drei aufeinander senkrecht stehende Geraden zu, die sich in einem Punkt schneiden). Und gerade das macht eben das Wesen der Scheinlogik und Dialektik aus.
Aus dem Raumbegriff einen Gattungsbegriff zu machen, nur weil dadurch kein logischer Widerspruch entsteht, ist genau die Art Dialektik, die ich meine. Und das wurde so gemacht: Der sensuell und individuell gegebene Raum (unser Anschauungsraum, den JEDER vorfindet) wurde zu einem bloßen Begriff gemacht (also eben von dem, was wir tatsächlich vorfinden, abgetrennt), den man eben nun im Widerspruch zum individuell gegebenen Sensualgebilde zum nicht induzierbaren Gattungsbegriff machte. Mit diesem frei erfundenen Gattungsbegriff verschiedenartiger Räume konnte man jetzt ganz geschickt die Eigenschaft dreidimensionaler und vierdimensionaler Räume verkünden und begründete zugleich, dass die letztere Eigenschaft diesem erfundenen Gattungsbegriff logisch nicht widerspreche, dass also folglich der Begriff des "vierdimensionalen Raumes" eine logische Möglichkeit sei.
Aber logische Möglichkeit bzw. das Fehlen eines Widerspruchs ist niemals der zureichende Grund einer Urteilsbildug, d.h. die Verschmelzung zweier Begriffe, sondern nur eine ihrer Bedingungen. (conditio sine qua non) Nach dem Gesetz der Logik muss die Verschmelzung zweier Begriffe (als Subjekt und Prädikat) einen zureichenden Grund haben (Satz vom Grunde), der das Gegenteil der Verschmelzung ausschließt (Satz vom ausgeschlossenen Dritten).
Aus diesem Grunde bleibt also folgende Sache offen:
Wie du selbst schon schreibst, wir können uns "vierdimensionale Räume" nicht vorstellen. Also: Woher um Himmels Willen nimmt man dann die Erkenntnis, dass die Vierdimensionalität diesem Gattungsbegriff nicht widerspreche, wenn ja der betrachtete Gegenstand dieses Gattungsbegriffes ("vierdimensionaler Raum") uns gänzlich unbekannt ist?
Von Hunden und Katzen kann man Gattungsbegriffe induzieren, aber nicht vom Vogel Phönix oder anderen Erfindungen.
So ganz logisch klingt das natürlich alles nicht
Dem stimme ich wohl voll und ganz zu.
Nach einiger Überlegung und durchlesen der der Beiträge, komme ich zu dem Schluss bzw. Entschluss das ihre Frage nicht korrekt gestellt ist.
Ein 3D auf Papier ist immer noch 2D und eine Darstellung die auf der optischen Täuschung des menschlichen Auges beruht. Die besten Redner der Welt haben nach drei Sek. für eine Sek., eine Pause eingelegt um verstanden zu werden. Man (also wer auch immer) geht davon aus, das dass menschliche Hirn ca. im 3 Sekundetakt arbeitet.
Wenn das menschliche Auge nur mit 25 Bildern pro/je Sekunde überlistet werden kann... sollte das zu denken geben. (Punkt)
Wenn man von Dimensionen oder Vektoren fabuliert, sollte eigentlich klar sein das es noch viel mehr Dimensionen geben kann. Das beruht allein auf dem Vorstellungsvermögen von ... Was kan sein?
Stellen Sie sich einfach mal vor (oder versuchen sie es) die Erde ist ein Atom von einer biologischen Zelle... (Einzeller) , das All, Universum, der Weltraum ist nur eine Ämöbe...
Ist das klein oder rießig?
MfG Untas
Es müßte 4 linear-unabhängige Koordinatenachsen haben und soviele kann man in 3D nicht darstellen. Man muß zum Darstellen also eine Weglassen, was aber in der Regel kein Problem ist.
Drei Raumkoordinaten und die Zeit ! Nur so lässt sich ein Ereignis beschreiben !
Deine Vermutung ist richtig. Die vier Koordinatenachsen müssen auch alle im rechten Winkel zu einander stehen.
Genau so wenig, wie Du ein dreidimensionales System ohne Informationsverlust auf einem zweidimensionalen Blatt Papier darstellen kannst, könntest Du ein vierdimensionales im dreidimensionalen Raum darstellen und viel weniger noch im zweidimensionalen. Es ginge aber, wenn sich alles aus den überschüssigen Dimensionen auf zwei projizieren läßt, was in speziellen Fällen möglich und sinnvoll sein kann.
ja das übersteigt eben unseren verstand.
allerdings ist es möglich ein völlig realitätsfremdes und verzerrtes 4 dimensionales bild auf papier darzustellen.
die koordinatenachsen müssen nämlich nicht unbedingt im rechten winkel sein. das ist dann kein klassisches koordiantensystem mehr. aber es geht nur darum, dass die achsen diejenigen achsen sind, welche von einer basis aufgespannt werden.
auch das 3 dimensionale bild auf papier ist schon verzerrt un "falsch", aber es genügt, sodass sich das gehirn das 3-dimensionale bild vorstellen kann.
bei 4 dimensionen geht das dann nicht mehr, aber eben ein total falsches bild kannst du immer zeichnen.
ja das übersteigt eben unseren verstand.
Diese Aussage impliziert aber, dass vierdimensionale Gebilde eine logische Möglichkeit seien. Aber woher nimmst du diese Erkenntnis? Was wenn es nicht unseren Verstand übersteigt, sondern eben diese angeblichen vierdimensionalen Gebilde einfach nicht existieren? Richtiger wäre die Aussage gewesen: "Nein, es gibt keine vierdimensionalen Gebilde" oder noch präziser: "Nein, unser Anschauungsraum lässt die Konstruktion vierdimensionaler Gebilde nicht zu, da wir in unserem Anschauungsraum in einem Punkt nur drei aufeinander senkrechte Linien bilden können (unser klassisches 3D-Koordinatensystem)"
allerdings ist es möglich ein völlig realitätsfremdes und verzerrtes 4 dimensionales bild auf papier darzustellen.
Das ist völliger Unsinn, den du da schreibst. Unser Anschauungsraum lässt die Konstruktion irgendwelcher vierdimensionaler Gebilde nicht zu. Jeder Hyperwürfel ist nur eine weitere Parallel- oder Zentralprojektion im dreidimensionalen Koordinatensystem. Es stellt lediglich, ähnlich wie nichteuklidische Figuren (die eigentlich euklidisch sind), eine besondere Art von Figur da. Aber keinesfalls sind diese vierdimensional. Sie haben auch weiterhin eine dreidimensionale Ausdehnung.
die koordinatenachsen müssen nämlich nicht unbedingt im rechten winkel sein. das ist dann kein klassisches koordiantensystem mehr.
Das ist falsch. Gerade darauf beruht doch das Axiom der Dimensionen. Würde man diesen Begriff fallen lassen, dann betrachten wir keinen Anschauungsraum mehr, geschweige denn überhaupt einen Raum. Der Anschauungsraum lässt, nach Definition des Axioms, nur in einem Punkt drei aufeinander senkrecht stehende Geraden zu. Dies ist unser dreidimensionales Koordinatensystem. Ein vier- oder höherdimensionales Koordinatensystem gibt es nicht und wird es niemals geben.
auch das 3 dimensionale bild auf papier ist schon verzerrt un "falsch", aber es genügt, sodass sich das gehirn das 3-dimensionale bild vorstellen kann.
Das ist korrekt. Eine genauere (unserer Anschauung näherkommende) Darstellung wäre daher die Zentralprojektion, diese ist aber zeichnerisch aufwendiger. Daher bedient man sich der klassischen Parallelprojektion.
bei 4 dimensionen geht das dann nicht mehr, aber eben ein total falsches bild kannst du immer zeichnen.
Eine sehr schwammige Aussage. Was ist ein "total falsches Bild" in Bezug auf vier Dimensionen? Weißt du denn überhaupt, ob vierdimensionale Gebilde möglich sind? Ich sagte ja bereits: Jede Zeichnung angeblicher vierdimensionaler Gebilde ist lediglich eine Parallel- oder auch Zentralprojektion eines besonderen dreidimensionalen Gebildes. Durch das Anfügen eines weiteren Würfels an einen Würfel und Verbinden ihrer Eckpunkte, entsteht noch lange kein vierdimensionales Gebilde. Das ist reine Begriffshascherei oder Dialektik.
Wie kann man denn mehr als 3 Koordinatenachsen im rechten Winkel zueinander stehen lassen? Hast du vielleicht eine Zeichnung oder sowas?